Symetryzacja na kratkach

Symetryzacja figury F względem prostej AB jest pewną transformacją tej figury:
tniemy F prostopadle do AB na cieniutkie 'paseczki', które następnie 'nawlekamy' na prostą AB.
Precyzyjniej: gdy prosta m, prostopadła do AB, przecina F wzdłuż odcinka, to ten odcinek przesuwamy wzdłuż m tak, by jego środek znalazł się na prostej AB.
Tak utworzoną nową figurę oznaczać będziemy symbolem  T_AB( F ) .
Ta transformacja nazywana jest symetryzacją Steinera.

Pewne wyobrażenie takiej symetryzacji daje poniższy dynamiczny rysunek.

  tempo: 3 przykład:

Łatwo zobaczyć efekty symetryzacji, gdy figury będziemy rysować na papierze w kratkę. Wystarczy wtedy liczyć kratki i przesuwać nie pojedyncze odcinki, lecz całe ich porcje.

Uwaga.  Gdy figura F nie jest wypukła, to pewne proste mogą przecinać ją nie wzdłuż jednego odcinka, lecz wzdłuż kilku rozłącznych odcinków. Wtedy najpierw zsuwamy je w jeden duży odcinek i potem go przesuwamy tak, by jego środek znalazł się na docelowej prostej.
Tak jest utworzone T_BC( F ) na rysunku obok.

Kratki są pomocne nie tylko przy symetryzacji wzdłuż prostych pionowych i poziomych oraz nie tylko przy symetryzacji figur kratowych (czyli złożonych z pełnych kratek).
 
Znajdziemy T_AB( F ) z rysunku obok:
- prosta AB 'idzie 2 w prawo + 1 w górę'
- prostopadłe do niej są proste: '1 w prawo + 2 w dół'
- dalej wystarczy liczyć na nowych punktach

Umówmy się, że kratki mają pole równe 1, boki o długości 1 i przekątne długości . Zatem o domku F obok napiszemy:
  Pole F = 36, bo figura składa się z 36 kratek,
  obw F = 18 + 4, bo na obwód składa się 18 boków i 4 przekątne.

Poniższe zadania pozwolą zapoznać się z pojęciem symetryzacji. Niektóre są dość trudne (pochodzą z konkursu KOMA dla uczniów szkół podstawowych).
(Wersja pdf tych zadań jest dostępna tutaj.)  

ZADANIE 1.  
a)  Zaznacz  T_AB( F )   
b)  Pole  T_AB( F ) =  24
c)  obw F =  38
d)  obw  T_AB( F ) =  28
e)  obw  T_CD( F ) =  28
f)  obw  T_CD( T_AB( F ) ) =  28

ZADANIE 2.  
a)  obw  T_AB( F ) =  24
Podaj liczbę boków:
b)   T_AB( F )   ma 20 boków
c)   T_BC( F )   ma 20 boków
d)   T_AB( T_BC( F ) )   ma 20 boków
e)   T_BC( T_AB( F ) )   ma 12 boków

ZADANIE 3.  
Ile jest wieloboków kratowych F, zawartych w kwadracie ABCD, takich, że  T_KL( F ) = G   i
a)  obw F  =  obw G ?   Odp.: 3.
b)  obw F  =  obw G + 1 ?   Odp.: 0.
c)  obw F  =  obw G + 2 ?   Odp.: 3.

ZADANIE 4.  
Ile jest wieloboków kratowych F, zawartych w prostokącie ABCD, takich, że
a)   T_KL( F ) = G   ?   Odp.: 9.
b)   T_NO( F ) = H   ?   Odp.: 36.

ZADANIE 5.  
a)  Zaznacz  T_AB( F ) .   
b)  Pole  T_AB( F ) =  52
c)  Ile boków ma  T_AB( F ) ?  Odp.: 10.
d)  obw  T_AB( F ) =  16 + 12

ZADANIE 6.  
a)  Zaznacz  T_KL( F ) .   
b)  Pole F =  18
c)  Pole  T_KL( F ) =  18

ZADANIE 7.  
a)  Zaznacz jakiś wypukły pięciobok F,
    dla którego  T_KL( F ) = G .   Są też inne!
b)  Pole F =  29
c)  obw  T_KL( F ) =  6 + 10
d)  Czy istnieje wypukły sześciobok F '  taki,
    że  T_KL( F ' ) = G ?  tak

ZADANIE 8.  
a)  Ile boków ma  T_KL( F ) ?  Odp.: 9.
b)  Zaznacz  T_KL( F ) .  
c)  Ile boków ma  T_KL(T_KL( F )) ?  Odp.: 9.

ZADANIE 9.  
a)  Zaznacz jakiś wypukły czworobok F,
    dla którego  T_KL( F ) = G.  
b)  Ile boków ma  T_KN(T_KL( F )) ?  Odp.: 5.
c)  Czy  T_LN(T_KL( F ))   i  T_KN(T_KL( F ))
    są przystające?  Odp.: tak.

ZADANIE 10.  
a)  Zaznacz  T_AC( F ) .   
b)  Ile boków ma  T_AB( F ) ?  Odp.: 5.
c)  Ile boków ma  T_BC( F ) ?  Odp.: 4.
d)  Ile boków ma  T_AD( F ) ?  Odp.: 6.

ZADANIE 11.  
a)  Zaznacz jakiś trapez F,
    dla którego  T_KL( F ) = G .   
b)  Ile boków ma  T_KN( T_KL( F )) ?  Odp.: 9.
c)  Ile boków ma  T_LN( T_KL( F )) ?  Odp.: 10.