Symetryzacja Steinera

Symetryzacja Steinera to pewna transformacja figury płaskiej lub bryły przestrzennej. Pewne pojęcie o istocie tej transformacji dają poniższe zdjęcia.
Dla figury (bryły) F i prostej (płaszczyzny) k tworzymy nową figurę (bryłę) T_k(F), która jest 'wyrównana' względem k.

Rysunki dynamiczne w artykułach Symetryzacja na kratkach i Symetryzacja na gładko pokazują ideę tej transformacji. W tych artykułach podane są też precyzyjne określenia.
Tu opiszemy symetryzację trochę inaczej.

W wersji płaskiej (2D), dla figury F i prostej PQ:

Definicja 2D.  T_PQ( F ) jest symetryzacją F względem prostej PQ jeśli dla każdej prostej m, prostopadłej do PQ, mamy:
-   przekrój  T_PQ( F ) i m jest zbiorem pustym albo odcinkiem o środku leżącym na PQ i
-   długość przekroju F i m jest równa długości przekroju  T_PQ( F ) i m.

W wersji przestrzennej (3D), dla bryły F i płaszczyzny PQR:

Definicja 3D.  T_PQR( F ) jest symetryzacją F względem płaszczyzny PQR jeśli dla każdej prostej m, prostopadłej do płaszczyzny PQR, mamy:
-   przekrój  T_PQR( F ) i m jest zbiorem pustym albo odcinkiem o środku leżącym na PQR i
-   długość przekroju F i m jest równa długości przekroju  T_PQR( F ) i m.

Oczywiście w wersji płaskiej mamy:
    -  PQ jest osią symetrii  T_PQR( F ) ,
    -  jeżeli proste PQ, RS są równoległe, to  T_PQ( F ) jest przesunięciem  T_RS( F ) .
W wersji przestrzennej analogicznie mamy:
    -  PQR jest płaszczyzną symetrii  T_PQR( F ) ,
    -  jeżeli płaszczyzny PQR, STU są równoległe, to  T_PQR( F ) jest przesunięciem  T_STU( F ) .

Inne proste fakty można oglądnąć w zadaniach zebranych w kolekcjach: Symetryzacja na kratkach i Symetryzacja na gładko. Tu pokażemy najważniejsze:

Twierdzenie 2D.   Dla dowolnego wieloboku wypukłego W i prostej PQ mamy:
     pole W   =   pole T_PQ(W) ,   czyli symetryzacja nie zmienia pola;
     obw. W     obw. T_PQ(W) ,   czyli symetryzacja nie zwiększa obwodu.
Co więcej:
     obw. W   =   obw. T_PQ(W)   wtedy i tylko wtedy, gdy
     prosta PQ jest równoległa do (pewnej) prostej symetrii wieloboku W.

Dowód (Twierdzenia 2D).    (Nie będzie całkiem formalny, ale nie zgubi istoty rzeczy.)

Rozważmy część  T_PQ(W) wyznaczoną przez dwa odcinki brzegu: A₁B₁ i A₂B₂, symetrycznie położone względem prostej PQ.
Ten trapez równoramienny A₁B₁B₂A₂ powstał z pewnego trapezu ABB'A', części wieloboku W.
Jaki jest dokładnie ten zielony trapez - nie wiemy, to zależy od W. Ale wiadomo, że podstawy ma takie jak niebieski i wysokość też ma taką samą.
Zatem te trapezy mają jednakowe pola, czyli W i  T_PQ(W) mają jednakowe pola.

Co do obwodów:
Dla tezy twierdzenia wystarczy pokazać, że A₁B₁ + B₂A₂ AB + A'B'.

Główny pomysł:
przesuńmy A' w stronę A o długość BB' i odbijmy względem prostej BB'.
Wtedy

Pomijamy tu dowód ostatniej części twierdzenia.

W wersji przestrzennej zachodzi analogiczne twierdzenie:

Twierdzenie 3D.   Dla dowolnego wielościanu wypukłego W i płaszczyzny PQR mamy:
     obj. W   =   obj. T_PQR(W) ,   czyli symetryzacja nie zmienia objętości;
     pole W     pole T_PQR(W) ,   czyli symetryzacja nie zwiększa pola powierzchni.
Co więcej:
     pole W   =   pole T_PQ(W)   wtedy i tylko wtedy, gdy
     płaszczyzna PQR jest równoległa do (pewnej) płaszczyzny symetrii wielościanu W.

Dowód (Twierdzenia 3D).   
(Zajmiemy się tylko najtrudniejszym i najciekawszym fragmentem twierdzenia dotyczącym pól.)

Rozważmy trzy proste a,b,c prostopadłe do płaszczyzny PQR, wyznaczające na brzegu  T_PQR(W) dwie symetrycznie położone niebieskie trójkątne ściany: A₁B₁C₁ i A₂B₂C₂.
Powstały one z pewnych dwóch trójkątów ABC i A'B'C', leżących na ścianach W.
Wiadomo tylko, że AA' = A₁A₂, BB' = B₁B₂ i CC' = C₁C₂.
Niech CC' będzie najkrótszym z tych odcinków.
Przesuńmy trójkąt A'B'C' tak, by C' pokryło się z C.
Dla tezy twierdzenia wystarczy pokazać, że: suma P_ABC + P_A''B''C jest najmniejsza,
gdy trójkąty ABC, A''B''C są przystające do niebieskich trójkątów.
 

 
Przyjmijmy oznaczenia:  r = AA'' : BB'',  s = AA'' : (AA'' - BB'').
Poniższe tezy są niezależne od położenia punktów A, B, C na prostych a, b, c,
warto przesuwać te punkty, by zobaczyć to na powyższym rysunku.

• Punkt D, przecięcie prostych AB i A''B'', leży na pewnej prostej d równoległej do a.
• P_ADC = s ^. P_ABC   i   P_A''DC = s ^. P_A''B''C .
• Pomyślmy o płaszczyźnie wyznaczonej przez proste d i c; pomyślmy też o płaszczyźnie Z do niej prostopadłej zawierającą prostą a. Przecinają się one (te płaszczyzny) wzdłuż prostej e równoległej do wszystkich prostych: a, b, c, d.
• Prosta DC przecina prostą e; punkt przecięcia oznaczmy przez E.
  Zauważ, że stosunek DE : DC jest stały - oznaczmy go przez t.
• P_ADE = t ^. P_ADC   i   P_A''DE = t ^. P_A''DC   (bo ich podstawa DE = t ^. DC). .

Zatem

Na koniec zauważmy, że P_ADE + P_A''DE ^. h₀ ^. (AE + A''E), gdzie h₀ oznacza odległość prostej d od płaszczyzny Z oraz suma AE + A''E jest najmniejsza, gdy E = E₀, gdzie E₀ oznacza punkt symetralnej odcinka AA'' (w płaszczyźnie Z) leżący na prostej e.

Zatem niech trapez AA''B''B będzie równoramienny oraz E = E₀.
Wtedy AE + A''E jest minimalne i odcinek DE₀ = h₀ (bo jest prostopadły do Z).
Wtedy AA'B'BCC' przystaje do A₁A₂B₂B₁C₁C₂.
Wtedy też suma pól P_ADE + P_A''DE jest najmniejsza, a więc i suma pól P_ABC + P_A''B''C jest najmniejsza.

To kończy ten dość długi dowód głównej tezy twierdzenia 3D.

Na koniec kilka uwag:

Uwaga.  Powyższy dowód ma pewne formalne luki, np. przyjęto w nim, że odcinek CC' jest krótszy od: AA' i BB'. Nie jest to poważny błąd, przecież, gdy inny z tych odcinków jest najkrótszy, to wystarczy zmienić oznaczenia. Prawda?
A co w przypadku, gdy te trzy odcinki są równej długości?
Warto prześledzić jeszcze raz ten dowód i znaleźć inne takie nieścisłości.

Uwaga.  W wersji 3D: symetryzacja może zwiększać łączną długość krawędzi.
Na przykład gdy W jest piramidą o podstawie PQRS, to  T_PQRS(W)  jest ośmiościanem o dłuższej łącznej długości krawędzi (niż w W).

Uwaga.  Powyższe twierdzenia można uogólnić, tezy są prawdziwe nie tylko dla wieloboków (wielościanów).

Uwaga.  Warto zauważyć, że tnąc  T_PQR(W)  płaszczyzną prostopadłą do PQR, otrzymamy figurę o polu takim samym jak jej przekrój z W.

Uwaga.  Niezmienność pola w wersji 2D (objętości - w wersji 3D) jest tak zwaną zasadą Cavalieriego.

Uwaga.  Oczywiście dla koła K i dowolnej prostej PQ figura  T_PQ(K) jest przystająca do K.
Czy jedynie koło ma tę własność?
Wydaje się, że tak. Jednak dowód będzie trudny, bo... np. punkt (figura złożona z jednego punktu) też ma tę własność.
Jak zatem sformułować tezę, w której koło będzie 'tą jedyną' figurą?

Uwaga.  Gdy przyjąć za wiadome, że wśród figur płaskich o danym polu istnieje figura o najmniejszym obwodzie, to tą figurą jest koło. Dlaczego?

Uwaga.  Warto chwilę zastanowić się nad poniższymi pytaniami:
Czy jeśli proste PQ i RS są prostopadłe, to  T_RS(T_PQ( W ))  =  T_PQ(T_RS( W )) ?
Czy jeśli proste PQ i RS są prostopadłe, to  T_RS(T_PQ( W ))  i  T_PQ(T_RS( W )) są przystające?
Czy jeśli proste PQ i RS są prostopadłe, to  T_RS(T_PQ( W )) ma środek symetrii?
Czy jeśli P jest środkiem symetrii W, to S jest środkiem symetrii  T_PQ(W) ?