Sztukowane z hiperbol

Maciej biegnie przez 60 sekund stałym tempem: v_M = 2 cm/s po 60 centymetrowej bieżni, będącej obwodem n-kąta foremnego. Jego odległość od punktu startu P zmienia się w czasie. Jest zatem funkcją czasu. Nazwijmy ją  f_P. Wartość f_P ( t ) jest równa odległości M, P po t sekundach od startu. Wykres tej funkcji jest przedstawiony poniżej.

Wykres składa się z paru odcinków i kilku linii zakrzywionych. Są to fragmenty hiperbol.
(Uzasadnienie tego wymaga dość żmudnych rachunków, które tutaj pominiemy.)
Warto zwrócić uwagę na punkty łączenia różnych linii. Wyznacz ich współrzędne.
Dla nieparzystych n-kątów pojawiają się 'dołki'. Wyznacz ich współrzędne.

ZADANIE 1.   Maciej biegnie przez 60 sekund po brzegu prostokąta ABCD, gdzie AB = 10 cm, BC = 20 cm, tzn. wyrusza z P = A, biegnie do B, potem do C, itd. (w koło Macieju).
Naszkicuj wykres funkcji f_P i zaznacz jego szczególne punkty, gdy

a)   v_M = 1 cm/s,           b)   v_M = 3 cm/s.

ZADANIE 2.   Maciej biegnie przez 60 sekund po brzegu trójkąta ABC,
gdzie AB = BC = CA = 20 cm, tzn. wyrusza z P = A, biegnie do B, potem do C, itd. (w koło Macieju).
Naszkicuj wykres funkcji f_P i zaznacz jego szczególne punkty, gdy

a)   v_M = 1 cm/s,           b)   v_M = 3 cm/s.           c)   v_M = 4 cm/s.

ZADANIE 3.   Maciej biegnie przez 60 sekund po brzegu trójkąta ABC, gdzie AB = 15 cm, BC = 20 cm, CA = 25 cm, tzn. wyrusza z P = A, biegnie do B, potem do C, itd. (w koło Macieju).
Naszkicuj wykres funkcji f_P i zaznacz jego szczególne punkty, gdy

a)   v_M = 1 cm/s,           b)   v_M = 3 cm/s.           c)   v_M = 4 cm/s.

ZADANIE 4.   Maciej biegnie przez 60 sekund po brzegu trójkąta ABC, gdzie AB = 15 cm, BC = 25 cm, CA = 20 cm, tzn. wyrusza z P = A, biegnie do B, potem do C, itd. (w koło Macieju).
Naszkicuj wykres funkcji f_P i zaznacz jego szczególne punkty, gdy

a)   v_M = 1 cm/s,           b)   v_M = 3 cm/s.           c)   v_M = 4 cm/s.

Teraz zobaczmy, jak wyglądają wykresy funkcji  f_P, gdy punkt P jest dowolnym, ustalonym punktem (niekoniecznie punktem startu). Przesuwając kropkę, oznaczającą punkt P, zobaczysz wiele wykresów. One też są zbudowane z odcinków i fragmentów hiperbol.

ZADANIE 5.   Maciej biegnie przez 60 sekund po brzegu prostokąta ABCD, gdzie AB = 10 cm, BC = 20 cm, tzn. wyrusza z A, biegnie do B, potem do C, itd. (w koło Macieju).
Naszkicuj wykres funkcji f_P i zaznacz jego szczególne punkty, gdy:

a)   v_M = 1 cm/s, i P jest punktem przecięcia przekątnych AC i BD,
 
b)   v_M = 1 cm/s, i P jest środkiem odcinka AB,
 
c)   v_M = 2 cm/s, i P jest środkiem odcinka BC,

ZADANIE 6.   Maciej biegnie przez 60 sekund po brzegu trójkąta ABC,
gdzie AB = BC = CA = 20 cm, tzn. wyrusza z A, biegnie do B, potem do C, itd. (w koło Macieju).
Naszkicuj wykres funkcji f_P i zaznacz jego szczególne punkty, gdy

a)   v_M = 1 cm/s, i P jest środkiem trójkąta ABC,
 
b)   v_M = 1 cm/s, i P jest środkiem odcinka AB,
 
c)   v_M = 2 cm/s, i P jest środkiem odcinka BC,

ZADANIE 7.   Maciej biegnie przez 60 sekund po brzegu trójkąta ABC, gdzie AB = 15 cm, BC = 20 cm, CA = 25 cm, tzn. wyrusza z A, biegnie do B, potem do C, itd. (w koło Macieju).
Naszkicuj wykres funkcji f_P i zaznacz jego szczególne punkty, gdy

a)   v_M = 1 cm/s, i P jest środkiem odcinka AB,
 
b)   v_M = 1 cm/s, i P jest środkiem odcinka BC,
 
c)   v_M = 2 cm/s, i P jest środkiem odcinka CA,

ZADANIE 8.   Maciej biegnie przez 60 sekund po brzegu trójkąta ABC, gdzie AB = 15 cm, BC = 25 cm, CA = 20 cm, tzn. wyrusza z A, biegnie do B, potem do C, itd. (w koło Macieju).
Naszkicuj wykres funkcji f_P i zaznacz jego szczególne punkty, gdy

a)   v_M = 1 cm/s, i P jest środkiem odcinka AB,
 
b)   v_M = 1 cm/s, i P jest środkiem odcinka BC,
 
c)   v_M = 2 cm/s, i P jest środkiem odcinka CA,

Oprócz Macieja do biegu (z tego samego miejsca) wystartował Wojtek. Biegnie ze stałą prędkością v_W cm/s. Zobaczmy, jak wygląda wykres funkcji  g_MW , opisującej odległość dzielącą Macieja i Wojtka (w linii prostej).

Wykres takiej funkcji jest także zbudowany z odcinków i fragmentów hiperbol.
Czasami odcinków jest wiele, np. gdy v_M = 1 cm/s , v_W = 6 cm/s.
Jakie są współrzędne końców tych odcinków?

ZADANIE 9.   Maciej i Wojtek biegną przez 60 sekund po brzegu prostokąta ABCD,
gdzie AB = 10 cm, BC = 20 cm, tzn. wyruszają z A, biegną do B, potem do C, itd. (w koło Macieju i dookoła Wojtek).
Naszkicuj wykres funkcji  g_MW  i zaznacz jego szczególne punkty, gdy:

a)   v_M = 1 cm/s  i  v_W = 3 cm/s,                 b)   v_M = 1 cm/s  i  v_W = 2 cm/s.

ZADANIE 10.   Maciej i Wojtek biegną przez 60 sekund po brzegu trójkąta ABC,
gdzie AB = BC = CA = 20 cm, tzn. wyruszają z A, biegną do B, potem do C, itd. (w koło Macieju i dookoła Wojtek).
Naszkicuj wykres funkcji  g_MW  i zaznacz jego szczególne punkty, gdy:

a)   v_M = 1 cm/s  i  v_W = 2 cm/s,                 b)   v_M = 1 cm/s  i  v_W = 4 cm/s.

ZADANIE 11.   Maciej i Wojtek biegną przez 60 sekund po brzegu trójkąta ABC,
gdzie AB = 15 cm, BC = 20 cm, CA = 25 cm, tzn. wyruszają z A, biegną do B, potem do C, itd. (w koło Macieju i dookoła Wojtek).
Naszkicuj wykres funkcji  g_MW  i zaznacz jego szczególne punkty, gdy:

a)   v_M = 1 cm/s  i  v_W = 2 cm/s,                 b)   v_M = 1 cm/s  i  v_W = 3 cm/s.

ZADANIE 12.   Maciej i Wojtek biegną przez 60 sekund po brzegu trójkąta ABC,
gdzie AB = 15 cm, BC = 25 cm, CA = 20 cm, tzn. wyruszają z A, biegną do B, potem do C, itd. (w koło Macieju i dookoła Wojtek).
Naszkicuj wykres funkcji  g_MW  i zaznacz jego szczególne punkty, gdy:

a)   v_M = 1 cm/s  i  v_W = 2 cm/s,                 b)   v_M = 1 cm/s  i  v_W = 3 cm/s.