Trójkąty Reuleaux 3D

Cóż za szczególną własność ma poniższa bryła?
Otóż jest bryłą o stałej szerokości, to znaczy:

Dlaczego odstęp między dowolną parą równoległych podpierających (tzn. płaszczyzn obejmujących bryłę) jest zawsze taki sam? Tego na rysunku nie da się zobaczyć. Jak zatem przekonać się o tym? Jak zobaczyć to, czego nie widać?
Przeczytaj, a zrozumiesz i wyobrazisz sobie.

Zaczniemy od wersji płaskiej. Poniżej widać trójkąt równoboczny ABC i czerwone łuki okręgów leżących w płaszczyźnie tego trójkąta, o wierzchołkach w punktach A, B, C i równych promieniach AB=BC=CA. Te łuki ograniczają figurę płaską zwaną trójkątem Reuleaux [czytaj: relo']. Więcej o nim znajdziesz tutaj.

Gdy przez końce jednego z promieni czerwonych łuków poprowadzimy proste do niego prostopadłe, leżące w płaszczyźnie trójkąta Reuleaux, to otrzymamy parę równoległych podpierających go. Odstęp między tymi prostymi jest równy długości promienia (AB),
czyli jest stały, niezależny od wyboru promienia. Trójkąt Reuleaux jest przykładem figury płaskiej o stałej szerokości.

Dalej zakręćmy trójkątem Reuleaux wokół prostej CO. (Zakręć myszką i wciśnij 'w'; 'q' = stop.)
Powstaje bryła obrotowa. Jej południki są połówkami brzegu trójkąta Reuleaux.
Wokół bieguna południowego jej powierzchnia jest częścią sfery o środku w C i promieniu CA. Reszta powierzchni nie jest częścią sfery - dlaczego? (Jest to fragment uogólnionego torusa.)

Widoczny na rysunku prostopadłościan jest sześcianem - dlaczego?
Zatem trzy pary równoległych podpierających mają odstęp równy AB.
Inna para równoległych podpierających (kliknij [//]) ma odstęp też równy AB. Pomyśl o przekroju tej bryły płaszczyzną zawierającą oś CO i prostopadłą do tych podpierających. 'Zobaczysz' trójkąt Reuleaux i parę równoległych prostych podpierających go. Ich odstęp jest odstępem między płaszczyznami - dlaczego?
Dzięki obrotowości wiele par równoległych płaszczyzn podpierających wygląda tak, jak ta pokazana na rysunku. Jednak nie wszystkie. Nieco inaczej wyglądają te, dla których C jest punktem styku. Ich odstępy też są równe AB - dlaczego?
Podsumowując, bryła z powyższego rysunku ma stałą szerokość.

Są inne niż trójkąt Reuleaux figury płaskie o stałej szerokości. Na przykład ta, pokazana na poniższym rysunku. Ogranicza ją sześć łuków okręgów ośrodkach w A, B, C; czerwone łuki o promieniu R > AB, niebieskie o promieniu R - AB (łuki te są szóstymi częściami okręgów).

Każda para obejmujących tę figurę równoległych podpierających (prostych) wygląda jak ta, pokazana na rysunku. Są one styczne do pary przeciwległych, różnokolorowych łuków.
Ich odstęp jest równy 2R - AB. Dlaczego?

Na koniec zakręćmy tą figurą wokół prostej CO.
Powstaje bryła obrotowa przedstawiona na poniższym rysunku.

Wokół bieguna północnego powierzchnia tej bryły jest częścią sfery o środku C i promieniu R - AB.
Wokół bieguna południowego jej powierzchnia jest częścią sfery o środku w C i promieniu R.
Niebieski pas jej powierzchni powyżej południowego koła podbiegunowego jest fragmentem torusa wyznaczonego przez obracający się wokół CO okrąg o środku w A i promieniu R - AB.
Żółta część powierzchni nad równikiem jest fragmentem uogólnionego torusa.

Pomyślmy o parze obejmujących tę bryłę równoległych podpierających (kliknij [//]).
Płaszczyzna prostopadła do nich, przechodząca przez oś CO, wyznacza w przekroju figurę płaską (z poprzedniego rysunku) o stałej szerokości. Dlatego właśnie ta bryła ma stałą szerokość równą 2R - AB.