KĄCIK NAUKOWY › Kółko matematyczne

Trzy Korony (0)

Data ostatniej modyfikacji:
2012-04-5
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria przestrzenna
Do rysunków użyto apletu ze strony  www.javaview.de/
Można nimi manipulować (prawy przycisk myszy).


 

Rzecz dzieje się w graniastosłupie prawidłowym ABCDEFA'B'C'D'E'F', w którym długość krawędzi podstawy a = 3, a wysokości H = 4. Rozważać będziemy różne bryły Z, będące złączeniem pewnych ostrosłupów zawartych w tym graniastosłupie. Ważne, żeby ich podstawy pokrywały podstawę graniastosłupa. Na przykład poniżej widać

 
Z = ABOA' BCOB' CDOC' DEOD' EFOE' FAOF' .

 


             

 
Oczywiście objętość Z jest równa 1/3 objętości graniastosłupa.
Nietrudno też jest obliczyć pole powierzchni Z.

Dalej nie będzie już tak prosto. Przydatna będzie

PODSTAWOWA OBSERWACJA

Aby obliczyć pole różowego trójkąta, wystarczy znać stosunki, w jakich skrócone są boki niebieskiego trójkąta. Podobnie jest z objętością różowego czworościanu.
(Pomyśl, że płaszczyzną podstawy niebieskiego i różowego czworościanu jest płaszczyzna zawierająca krawędzie a i b. Wtedy widać, skąd się wziął ten wzór.)

 

 

W poniższych zadaniach niektóre przykłady są łatwe i szybkie, a niektóre żmudne. Które są które?
Na rysunkach można zobaczyć jedynie krawędzie ostrosłupów. Szkielet Z trzeba sobie wyobrazić.

 

 

ZADANIE 1. Z jest złączeniem sześciu ostrosłupów o podstawach:

ABO, BCO, CDO, DEO, EFO, FAO .
Sprawdź, że w każdym przykładzie objętość Z jest równa 1/3 objętości graniastosłupa.
Oblicz pole powierzchni całkowitej Z.

 


a)            

b)            

c)            

d)            

e)            

f)            

 

 

Teraz rozważać będziemu bryły Z będące złączeniem kilku ostrosłupów, wszystkich o tej samej podstawie P = ABCDEF. Ostrosłupy będziemy opisywali, podając ich podstawę i jeden wierzchołek nie należący do podstawy. Na przykład poniżej widać

 
Z = PO' PA' .

 


       

Najpierw trzeba zrozumieć Z, tzn. zrozumieć, jak wygląda w pobliżu 'przełęczy' S pomiędzy szczytami.

Nim zabierzesz się do obliczeń, wyznacz stosunki:
s = SO' : AO'   oraz   t = TO' : BO'.
Wskazówka
Dzięki tej obserwacji nietrudno jest obliczyć objętość Z (w zależności od objętości V graniastosłupa).

 

 

ZADANIE 2. Z jest złączeniem kilku ostrosłupów, wszystkich o tej samej podstawie

P = ABCDEF .

Na jakiej wysokości leży przełęcz (leżą przełęcze)?
Czy po deszczu zrobi się jezioro? Jaką może mieć maksymalnie głębokość?
Wyznacz objętość Z (odpowiedź wyraź w zależności od objętości V graniastosłupa.)

a)            

b)            

c)            

d)            

e)            

f)            

g)            

h)            

 

 

Na dalszy ciąg badania Trzech Koron zapraszamy tutaj.

Powrót na górę strony