KĄCIK NAUKOWY › Kółko matematyczne

Wierzchołki piramid

Data ostatniej modyfikacji:
2011-01-3
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła podstawowa
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
algebra elementarna
algebra liniowa
arytmetyka

Dla danej listy L tworzymy nową listę S [L] tak, że

dodajemy i dzielimy przez 2 kolejne pary liczb z listy L,
np: gdy   L = [1, 2, 4, 2, 5],   to   S [L] = [3/2, 3, 3, 7/2].
Oto inne przykłady:
  S [3, 5, 9] = [4, 7],   S [5, -5, 7, 11, -11] = [0, 1, 9, 0].

Spróbuj odgadnąć, co kryje się pod kratkami (klikając w kratkę, otrzymasz odpowiedź).
  S [1, 5, , 13] = [3, 4, 8],    S [, 4, 8, ] = [3, , 5].

Czasami może być kłopot z uzupełnieniem list, na przykład takich:
  S [ , 4, 8] = [3, 5],   
  S [ , 4] = .    

Podaną operację na listach można iterować, czyli powtarzać wiele razy, np.:
 S [ S [1, 2, 4, 2, 5] ] = S [3/2, 3, 3, 7/2] = [9/4, 3, 13/4].

Wyniki kolejnych iteracji wygodnie jest notować w postaci piramidy, jak na diagramie obok.
   S 3 [1, 2, 4, 2, 5] = S [ S [S [1, 2, 4, 2, 5] ] ] =
                   = S [ S [ 3/2, 3, 3, 7/2] ] =
                   = S [ 9/4, 3, 13/4] =
                   = [ 21/8, 25/8]
Możemy tak postępować aż pozostanie jedna liczba. Nazwiemy ją wierzchołkiem piramidy.
   W [1, 2, 4, 2, 5] = S 4 [1, 2, 4, 2, 5] = S [ 21/8, 25/8] =  23/8 .

O piramidzie obok powiemy, że
     ma podstawę P [1, 2, 5] i wierzchołek W [1, 2, 5] = 5/2 .

Spróbuj uzupełnić poniższe piramidy (klikając w kratkę, otrzymasz odpowiedź).

4 2 -1 7
1 -3/2 -4 5
3/8 0 1/8 3/2 -3/4

 

 

Przy obliczaniu wierzchołków piramid zachodzą pewne ogólne prawidłowości. Przedstawimy je na przykładach.

 

    W [ a, a, a, ..., a ]   =   a,
       na przykład:   W [ 8, 8, 8, 8, 8 ]   =   8,
    W [ c . a1, c . a2, c . a3, ..., c . an ]   =   c . W [ a1, a2, a3, ..., an ] ,
       na przykład:   W [ 7 . 2, 7 . 3, 7 . (-4), 7 . 5 ] = 7 . W [2, 3, -4, 5],
    W [ a1+b1, a2+b2, a3+b3, ..., an+bn ]  =  W [ a1, a2, a3, ..., an ]  +  W [ b1, b2, b3, ..., bn ] ,
       na przykład:   W [ 2 + 5, 3 + 4, -4 + 11, 5 + 2 ]   =   W [ 2, 3, -4, 5 ]   +   W [ 5, 4, 11, 2] ,
    W [ a1, a2, a3, ..., an - 1, an ]  =  W [ an, an - 1, ..., a3, a2, a1 ] ,
       na przykład:   W [ 2, 3, -4, 5 ]   =   W [ 5, -4, 3, 2 ] ,
1/2 1 0 5/2 - 1/2 1/2 2 3 -4 5

 

Zatem jeśli mozolnie obliczymy W [2, 3, -4, 5] = 1/2 (patrz obok), to ten rachunek można wykorzystać przy obliczaniu wierzchołków wielu innych piramid.

Poniżej podajemy kilka przykładów.

   W [10, 15, -20, 25] = W [ 5.2, 5.3, 5.(-4), 5.5 ] = 5 . W [2, 3, -4, 5] = 5 . 1/2 = 5/2 .

   W [-20, -30, 40, -50] = W [ (-10).2, (-10).3, (-10).(-4), (-10).5 ] = (-10) . 1/2 = -5 .

   W [1, 3/2, -2, 5/2] = W [  1/2.2, 1/2.3, 1/2.(-4), 1/2.5 ] = 1/2 . 1/2 = 1/4 .

   W [3, 4, -3, 6] = W[2+1, 3+1 , (-4)+1, 5+1] = W[2, 3, -4, 5] + W[1, 1, 1, 1] = 1/2 + 1 = 3/2.

   W[1, 0, 7, -2] = W[3-2, 3-0 , 3-(-4), 3-5] = W[3, 3, 3, 3] - W[2, 3, -4, 5] = 3 - 1/2 = 5/2.

 

Poniższe przykłady ilustrują pewien nowy pomysł.

   W [6, 6, 6, 6, 6, 0, 0, 0, 0, 0]  =  2 . W [3, 3, 3, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0]  =
            =    W [3, 3, 3, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0]  
               + W [0, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 3]  =
            =    W [3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3]  =
            =   3 ,

   W [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2]  =  W [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]  +  W [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1]  = 
            =  1 + 1/2 . ( W [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1]  +  W [1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0] ) =
            =  1 + 1/2 . ( W [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] )  =
            =  1 + 1/2 . 1  =   3/2,

   W [3, 5, 7, 9]  =  1/2 . ( W [3, 5, 7, 9]  +  W [3, 5, 7, 9] )  =
            =  1/2 . ( W [3, 5, 7, 9]
                      + W [9, 7, 5, 2] ) =
            =  1/2 . W [3+9, 5+7, 7+5, 9+2] =
            =  1/2 . W [12, 12, 12, 12, 12, 12] = 1/2 . 12 = 6,

   W [1, 4, 7, 10, 13, 16]  =  1/2 . ( W [1, 4, 7, 10, 13, 16]  +  W [1, 4, 7, 10, 13, 16] )  =
            =  1/2 . ( W [1, 4, 7, 10, 13, 16] + W [16, 13, 10, 7, 4, 1] ) =
            =  1/2 . W [1+16, 4+13, 7+10, 10+7, 13+4, 16+1] =
            =  1/2 . W [17, 17, 17, 17, 17, 17] = 1/2 . 17 = 17/2,

   W [1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4]  = 
            =  1/2 . ( W [1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4]  +  W [1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4] ) =
            =  1/2 . ( W [1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4] 
                     +  W [4, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1] ) =
            =  1/2 .   W [5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5] =  1/2 . 5 = 5/2.

Teraz pokażemy, dlaczego zachodzą poniższe równości, gdzie coś_tam1, coś_tam2, coś_tam3 są dowolnymi ciągami liczb, przy czym coś_tam1 ma tyle samo wyrazów, co coś_tam3.

        W [ coś_tam1,   0 , coś_tam2,   0 , coś_tam3 ]   =
   =   W [ coś_tam1,  1 , coś_tam2,  -1 , coś_tam3 ]   =
   =   W [ coś_tam1, -2 , coś_tam2,   2 , coś_tam3 ]   =
   =   W [ coś_tam1,  5 , coś_tam2,  -5 , coś_tam3 ]   =
   =   W [ coś_tam1,- 2/3, coś_tam2, 2/3, coś_tam3 ] .

Wynika to z prostej obserwacji (liczby zer są takie same, jak ilości liczb w ciągach coś_tam1, coś_tam2, coś_tam3):

                  W [ 0, 0,...,0,   1,  0, 0,...,0,   -1,  0, 0,...,0 ]   =
    =            W [ 0, 0,...,0,   1,  0, 0,...,0,    0,  0, 0,...,0 ]   +
      + (-1) . W [ 0, 0,...,0,   0,  0, 0,...,0,    1,  0, 0,...,0 ]   =
    =            W [ 0, 0,...,0,   1,  0, 0,...,0,    0,  0, 0,...,0 ]   -
               -  W [ 0, 0,...,0,   1,  0, 0,...,0,    0,  0, 0,...,0 ]   =
    =            0 . 

Stąd wynika na przykład, że:

     W [coś_tam1,- 2/3, coś_tam2,2/3, coś_tam3] =
=  W [coś_tam1,   0,  coś_tam2,  0, coś_tam3] + (- 2/3) W [0,0,...,0, 1, 0,0,...,0,-1, 0,0,...,0] =
=  W [coś_tam1,   0,  coś_tam2,  0, coś_tam3]  + (- 2/3) . 0 =
=  W [coś_tam1,   0,  coś_tam2,  0, coś_tam3].

 Można też zobaczyć, że

        W [ coś_tam1,   7, coś_tam2,   3 , coś_tam3 ]   =
   =   W [ coś_tam1,  9 , coś_tam2,   1 , coś_tam3 ]   =
   =   W [ coś_tam1,  6, coś_tam2,    4 , coś_tam3 ]   =
   =   W [ coś_tam1,  5 , coś_tam2,   5 , coś_tam3 ]  .

(Do pierwszej piramidy 'dodaj' : 
             [ 0, 0,...,0,   2,  0, 0,...,0,   -2,  0, 0,...,0 ]    lub
             [ 0, 0,...,0,  -1,  0, 0,...,0,    1,  0, 0,...,0 ]    lub
             [ 0, 0,...,0,  -2,  0, 0,...,0,    2,  0, 0,...,0 ]    ).
               

Można (mozolnie) sprawdzić, że:
  W [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]  =  7/128
oraz
  W [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]  =  3 . W [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] ,
  W [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0]  =  5 . W [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] . 

Ta informacja pozwala łatwo obliczać niektóre piramidy o podstawie długości 8, np:

 W [0, 2, 7, 0, 0, 0, 0, 0]  =  2 . W [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]  +  7 . W [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0] = 
                                        =  2 .  7/128                             +  7 .  3 .  7/128               = 23 .  7/128 ,

 W [0, 1, 2, 6, 0, 0, 0, 0]  =
  =  1 . W [0,1,0,0,0,0,0,0]  +  2 . W [0,0,1,0,0,0,0,0] + 6 . W [0,0,0,1,0,0,0,0] = 
  =  1 .  7/128                      +  2 .  3 .  7/128                +  6 .  5 .  7/128                  = 37 .  7/128 ,

 W [0, 5, 1, 2, 7, 1, 3, 0]  =
  = (5+3) . W[0,1,0,0,0,0,0,0] + (1+1) . W[0,0,1,0,0,0,0,0] + (2+7) . W[0,0,0,1,0,0,0,0] =
  =     8  .   7/128                    +    2   .  3 .  7/128                +     9  .  5 .  7/128        = 59 .  7/128 .

 

Uwaga.  Nie dla każdej podstawy piramidy istnieje sprytny sposób obliczenia wierzchołka.

 

 

Rozwiąż samodzielnie poniższe zadania. Pochodzą one z konkursu KOMA dla uczniów szkół podstawowych, dlatego niektóre z nich są dość trudne.

 

ZADANIE 1.   Uzupełnij zapisy.

d)   S [2, , 8] = [4, 7]

e)   S [ , , 8, 2] = [1, 6, ]

f)   S [ , , , 2] = [  5/2,  22/4, 5]

a)   S [0, 4, 6] = ................

b)   S [12, 4, 10, 2, 0] = ................

c)   S 3 [12, 4, 10, 2, 0] = ................

 

ZADANIE 2.   Uzupełnij piramidy.

 

ZADANIE 3.   Podaj trzy różne podstawy P takie, że:

a)   S [ P ] = [-5, 2, 7]           P = .......................,  P = .......................,  P = .....................

b)   W [ P ] = 1                     P = .......................,  P = .......................,  P = ......................

c)   W [ P ] = 0                     P = .......................,  P = .......................,  P = ......................

 

ZADANIE 4.   Ile wynosi suma wszystkich liczb w piramidzie o danej podstawie?

d)   [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

e)   [8, -8, 8, -8, 8, 8]

a)   [ 2/3,  2/3,  2/3,  2/3,  2/3,  2/3]

b)   [7, -7, 7, -7, 7, -7, 7, -7, 7, -7]

c)   [7, -7, 7, -7, 7, -7, 7, -7, 7, -7, 7]

 

ZADANIE 5.   Uzupełnij. Niech p oznacza ilość liczb w podstawie P piramidy.

a)   Dla p = 37 ilość liczb w S [ P ] jest równa ....................

b)   Dla p = 37 ilość liczb w S 3 [ P ] jest równa ....................

c)   Ilość liczb w S 47 [ P ] jest równa 123. Zatem p jest równe ....................

d)   Dla p = 7 ilość liczb w całej piramidzie jest równa ....................

e)   Dla p = 8 ilość liczb w całej piramidzie jest równa ....................

f)   W całej piramidzie jest 21 liczb. Zatem p jest równe ....................

g)   W całej piramidzie jest 66 liczb. Zatem p jest równe ....................

h)   W całej piramidzie jest 3 razy więcej liczb niż w podstawie. Zatem p jest równe ....................

i)   W całej piramidzie jest 9 razy więcej liczb niż w podstawie. Zatem p jest równe ....................

 

ZADANIE 6.   Spośród podanych liczb podkreśl:

a)   największą:  W[173, 234, 439],  W[234, 173, 439],  W[173, 439, 234],  W[439, 234, 173]

b)   najmniejszą:  W[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ,0],  W[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],  W[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 , 0]

c)   najmniejszą:   W [0, 2, 4, 6, 8],   W[2, 4, 6, 8],  2 . W [1, 2, 3, 4],  W [0, 2, 4, 6, 8, 10]

d)   największą     W [-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7],   (-2) . W [2, 2, 2, 2, 2, 2, 2],   W [1, -2, -5, -8]

 

ZADANIE 7.  Wiadomo, że W [0, 0, 1, 0, 0, 0] jest 10 razy większe od W [1, 0, 0, 0, 0, 0]
i 2 razy większe od W [0, 1, 0, 0, 0, 0]. Ile razy większa od W [1, 0, 0, 0, 0, 0] jest liczba:

f)   W [-7, 0, 3, 0, 0, 0]

g)   W [0, 0, 0, 2, 0, 0]

h)   W [0, 3, 0, 0, 5, 0]

i)   W [0, 2, 3, 4, 3, 0]

a)   W [0, 0, 4, 0, 0, 0]

b)   W [0, 7, 0, 0, 0, 0]

c)   W [1, 0, 2, 0, 0, 0]

d)   W [0, 2, 3, 0, 0, 0]

e)   W [2, 3, 4, 0, 0, 0]

 

ZADANIE 8.   Wiadomo, że podstawa P składa się z trzech liczb, których suma jest równa sumie liczb z S [P]. Oceń wypowiedzi Jasia.

a)   W P musi być choć jedno zero.     TAK/NIE

b)   Suma liczb z P musi być równa zero.     TAK/NIE

c)   W P musi być liczba ujemna.     TAK/NIE

d)   Wszystkie liczby z P muszą być równe 0.     TAK/NIE

e)   Suma liczb z S [P] musi być równa 2 . W [P].     TAK/NIE

f)   Suma liczb z P musi być równa 2 . W [P].     TAK/NIE

 

ZADANIE 9.   Wpisz jeden ze znaków: ' < ' , ' = ' , ' >' :

a)   W [22, 31, 2, 55, 32, 22, 2, 51, 47]  ....  W [22, 31, 0, 55, 32, 22, 4, 51, 47]

b)   W [22, 31, -1, 55, 32, 22, 5, 51, 47]  ....  W [22, 31, 0, 55, 32, 22, 4, 51, 47]

c)   W [22, 31, 3, 55, 32, 22, 2, 51, 47]  ....  W [22, 31, 0, 55, 32, 22, 4, 51, 47]

d)   W [22, 31, -2, 55, 32, 22, -2, 51, 47]  ....  W [22, 31, 0, 55, 32, 22, 4, 51, 47]

e)   W [4, 5, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 8, 7, 5, 4]  ....  W [8, 10, 14, 16, 18, 18, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

f)   2 . W [4, 5, 7, 8, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0]  ....  W [8, 10, 14, 16, 18, 18, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

g)   W [2, 2, 2, 2, 2, 2, 9, 9, 8, 7, 5, 4]  ....  W [8, 10, 14, 16, 18, 18, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

h)   W [0, 0, 0, 0, 0, 0, 18, 18, 16, 14, 10, 8]  ....  W [8, 10, 14, 16, 18, 18, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

 

 

Więcej na ten temat można przeczytać w artykule Wierzchołki piramid z wyższego punktu widzenia .

Powrót na górę strony