Z czterech kul

Oglądniemy tu bryłę . Jest to

Środki kul, punkty A, B, C, D, są oczywiście wierzchołkami czworościanu foremnego.
Każdy z nich leży na powierzchniach pozostałych kul, zatem leży na powierzchni .
Powiemy, że A, B, C, D są 'wierzchołkami' .

Jak wyglądają 'krawędzie' i 'ściany' ?
Trudno je zobaczyć, nawet gdy wyświetlimy półsfery zamiast kul.

Przytnijmy te sfery jeszcze bardziej:
każdą sferę płaszczyzną ściany czworościanu przeciwległą do środka sfery
(np. tę o środku A - płaszczyzną BCD).

To dalej za dużo; 'ściany' są mniejsze.

Przytnijmy te sfery jeszcze bardziej:
każdą sferę trzema płaszczyznami ścian czworościanu zawierającymi środek sfery
(np. tę o środku w A - płaszczyznami ABC, ABD i ACD ).

Tym razem to za dużo; zgubiliśmy 'krawędzie' .

Zamiast dalej zgadywać zastanówmy się

Teraz już można zobaczyć całe .

Podsumujmy: bryła ma na swej powierzchni:

• cztery 'wierzchołki' - środki kul, będące wierzchołkami czworościanu foremnego,
• sześć 'krawędzi'; każda 'krawędź' łączy dwa 'wierzchołki', jest łukiem okręgu o środku w środku odcinka łączącego pozostałe dwa 'wierzchołki',
• cztery 'ściany', każda wycięta z innej sfery, ograniczona przez trzy 'krawędzie', zawierająca trzy 'wierzchołki', wycięta ze sfery trzema płaszczyznami: każda z tych płaszczyzn przechodzi przez dwa 'wierzchołki' tej 'ściany' i przez środek odcinka łączącego pozostałe dwa 'wierzchołki'.

Uwaga.  Nie umiem elementarnie wyznaczyć ani pola powierzchni, ani objętości tej bryły.

Zadanie 0.  Opisz bryłę będącą częścią wspólną takich trzech kul o promieniu 1, że środki każdych dwóch są odległe o 1.

Zadanie 1.  Opisz bryłę będącą częścią wspólną ośmiu kul o promieniu 1, o środkach w wierzchołkach sześcianu o krawędzi 1.

Zadanie 1'.  Opisz bryłę będącą częścią wspólną ośmiu kul o promieniu , o środkach w wierzchołkach sześcianu o krawędzi 1.

Zadanie 1''.  Opisz bryłę będącą częścią wspólną ośmiu kul o promieniu , o środkach w wierzchołkach sześcianu o krawędzi 1.

Zadanie 2.  Opisz bryłę będącą częścią wspólną sześciu kul o promieniu 1, o środkach w wierzchołkach ośmiościanu foremnego o krawędzi 1.

Zadanie 2'.  Opisz bryłę będącą częścią wspólną sześciu kul o promieniu , o środkach w wierzchołkach ośmiościanu foremnego o krawędzi 1.

Zadanie 3*.  Niech będzie częścią wspólną czterech kul o promieniu 2, o środkach w punktach A, B, C, D, w wierzchołkach sześcianu o krawędzi jak pokazano na rysunku.
Oblicz:
      a)     promień łuku 'krawędzi' tej bryły,
      b)     długość 'krawędzi' tej bryły,
      c)     promień najmniejszej kuli zawierającej tą bryłę,
      d)     promień największej kuli zawartej w tej bryle.

Na koniec zauważmy, że rozważana tu bryła (częścią wspólną czterech kul) jest określona przez analogie do trójkąta Reuleaux, który na płaszczyźnie jest częścią wspólną takich trzech kół o jednakowych promieniach R, że środki każdych dwóch są odległe o R. Trójkąt Reuleaux jest przykładem figury o stałej szerokości. Tej własności nie ma bryła - zobaczmy (porównaj z własnością bryły opisanej w tekście Trójkąty Reuleaux 3D).

Odcinek DD', łączący 'wierzchołek' ze środkiem przeciwległej 'ściany' ma oczywiście długość R. Zatem para równoległych płaszczyzn podpierających prostopadła do DD' ma odstęp R.
Odcinek E'F', łączący środki dwóch przeciwległych 'krawędzi' ma długość różną od R (ma długość R ( - 1/) ) . Zatem para równoległych płaszczyzn podpierających prostopadła do E'F' ma odstęp inny niż R.