Zakręcone graniastosłupy (1)

Data ostatniej modyfikacji:
2014-01-7
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria przestrzenna
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum

Wyginając odpowiednio graniastosłup i sklejając jego podstawy, dostajemy ciekawą bryłę. Takie bryły, podobne do obwarzanków, nazwiemy graniastorusami, bo z jednej strony są podobne do graniastosłupów, a z drugiej - do torusa. Zbadamy ich własności.

Minigaleria graniastorusów

Najprostszy przykład graniastorusa dostajemy, skręcając długi graniastosłup o podstawie kwadratowej i sklejając jego podstawy. To nie jest precyzyjny opis. Spróbujmy więc tak: kwadratową ramką kręcimy wokół ustalonej osi; zakładamy, że płaszczyzna ramki zawiera oś obrotu (można myśleć, że ramka jest narysowana na kartce książki i obracamy kartkę wokół osi, tj. wokół grzbietu książki).



Trochę inny graniastorus dostaniemy, inaczej ustawiając kwadratową ramkę względem osi.



Kręcąc ramką o kształcie trójkąta równobocznego, dostajemy różne 'obręcze'.







Kręcąc ramką o kształcie sześciokąta foremnego, dostajemy graniastorus dość pełny - taki pulchny obwarzanek.




Przejdziemy teraz do obliczenia pól powierzchni i objętości takich brył. Ustalmy, że środek obracanej ramki jest w odległości R od osi obrotu i że bok ramki ma długość a.

Najprościej jest w przypadku pokazanym obok.
- podstawy: górna i dolna są różnicami dwóch kół, więc łączne ich pole jest równe
    .
- powierzchnie boczne: zewnętrzna i wewnętrzna są - po rozcięciu - prostokątami o tej samej wysokości a, a ich łączne pole jest równe:
    .
Stąd całkowite pole powierzchni jest równe .

Objętość łatwo obliczymy. zauważając, że bryła ta jest różnicą dwóch walców.
    objętość = .


Aby obliczyć pola powierzchni innych graniastorusów, zbadajmy powierzchnię 'abażura'  obok, tzn. powierzchnię, jaką zakreśla odcinek o długości d, którego środek jest odległy o w od osi obrotu.

Po rozcięciu i rozłożeniu widać niepełne koło (jego promień nazwijmy u) z wyciętym małym kołem (jego promień nazwijmy v). Stosunek określa, jaką część różnicy owych kół stanowi powierzchnia abażuru.

Szukane pole jest równe
    .
Przekształcając, mamy:
    .

Powyższy wzór wygodniej będzie przeczytać tak:

pole zakreślane przez odcinek jest równe iloczynowi długości odcinka przez długość drogi, jaką zakreśla środek tego odcinka.

Stosując powyższą obserwację do graniastorusa obok, widzimy, że jego pole powierzchni jest równe
    .
Ponieważ i (dlaczego?), pole jest równe .



Stosując powyższą obserwację do graniastorusa obok widzimy, że jego pole powierzchni jest równe
   
bo (patrz rysunek).


Ogólnie, gdy graniastorus powstaje z obrotu n-kąta foremnego o boku a, którego środek jest odległy o R od osi obrotu, to jego pole powierzchni jest równe
    ,
gdzie oznacza odległość środka k-tego boku od osi obrotu.
Ponieważ (podobnie jak dla trójkąta), mamy ostatecznie:
    , co lepiej przeczytać następująco:

pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót n-kąta foremnego jest równe iloczynowi obwodu tego wielokąta i drogi, jaką zakreśla środek tego wielokąta.

Podobnie jak wzór na pole powierzchni, wyprowadza się wzór na objętość takiej bryły. Mamy:

objętość bryły utworzonej przez obrót n-kąta foremnego jest równa iloczynowi pola powierzchni tego wielokąta i drogi, jaką zakreśla środek tego wielokąta.

(Sprawdź, że tak jest dla pierwszego z rozważanych graniastorusów.)


Obracając n-kąt foremny dla 'dużego' n, widzimy właściwie nie wielokąt, lecz koło i powstaje bardzo dobre przybliżenie zwykłego torusa.





Pole powierzchni i objętość torusa (powstałego z obrotu koła o promieniu r, którego środek jest odległy o R od osi obrotu) są przybliżane przez pola powierzchni i objętości graniastorusów. Zatem:

pole powierzchni torusa jest równe ,
a jego objętość wynosi

Powrót na górę strony