Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js
  • STRONA GŁÓWNA
  • MAPA PORTALU
  • KALENDARZ
  • O PORTALU
  • WYKRESownik      Edytor wzorów TeXa
MAT-ŚWIAT › Odlotowe figury

Zakręcone graniastosłupy (1)

 więcej informacji o tekście:
Krzysztof Omiljanowski

Wyginając odpowiednio graniastosłup i sklejając jego podstawy, dostajemy ciekawą bryłę. Takie bryły, podobne do obwarzanków, nazwiemy graniastorusami, bo z jednej strony są podobne do graniastosłupów, a z drugiej - do torusa. Zbadamy ich własności.

Minigaleria graniastorusów

Najprostszy przykład graniastorusa dostajemy, skręcając długi graniastosłup o podstawie kwadratowej i sklejając jego podstawy. To nie jest precyzyjny opis. Spróbujmy więc tak: kwadratową ramką kręcimy wokół ustalonej osi; zakładamy, że płaszczyzna ramki zawiera oś obrotu (można myśleć, że ramka jest narysowana na kartce książki i obracamy kartkę wokół osi, tj. wokół grzbietu książki).

Trochę inny graniastorus dostaniemy, inaczej ustawiając kwadratową ramkę względem osi.

Kręcąc ramką o kształcie trójkąta równobocznego, dostajemy różne 'obręcze'.




Kręcąc ramką o kształcie sześciokąta foremnego, dostajemy graniastorus dość pełny - taki pulchny obwarzanek.

Przejdziemy teraz do obliczenia pól powierzchni i objętości takich brył. Ustalmy, że środek obracanej ramki jest w odległości R od osi obrotu i że bok ramki ma długość a.

Najprościej jest w przypadku pokazanym obok.
- podstawy: górna i dolna są różnicami dwóch kół, więc łączne ich pole jest równe
    [tex] 2 \cdot \left( \pi (R+\frac{1}{2}a)^2 - \pi (R-\frac{1}{2}a)^2\right)=4\pi R a[/tex].
- powierzchnie boczne: zewnętrzna i wewnętrzna są - po rozcięciu - prostokątami o tej samej wysokości a, a ich łączne pole jest równe:
    [tex] 2\pi (R+\frac{1}{2}a)\cdot a + 2\pi (R-\frac{1}{2}a)\cdot a = 4\pi R a[/tex].
Stąd całkowite pole powierzchni jest równe [tex] 8\pi R a[/tex].

Objętość łatwo obliczymy. zauważając, że bryła ta jest różnicą dwóch walców.
    objętość = [tex] V=\pi (R+\frac{1}{2}a)^2 \cdot a - \pi (R-\frac{1}{2}a)^2 \cdot a=...=2\pi R a^2[/tex].

Aby obliczyć pola powierzchni innych graniastorusów, zbadajmy powierzchnię 'abażura'  obok, tzn. powierzchnię, jaką zakreśla odcinek o długości d, którego środek jest odległy o w od osi obrotu.

Po rozcięciu i rozłożeniu widać niepełne koło (jego promień nazwijmy u) z wyciętym małym kołem (jego promień nazwijmy v). Stosunek [tex] \frac{\alpha}{360^o}[/tex] określa, jaką część różnicy owych kół stanowi powierzchnia abażuru.

Szukane pole jest równe
    [tex] \frac{\alpha}{360^o}\cdot\pi u^2-\frac{\alpha}{360^o}\cdot\pi v^2[/tex].
Przekształcając, mamy:
    [tex] \frac{\alpha}{360^o}\cdot \pi(u+v)(u-v)=\frac{\alpha}{360^o}\cdot 2\pi\frac{u+v}{2} \cdot d=2\pi w \cdot d[/tex].

Powyższy wzór wygodniej będzie przeczytać tak:

pole zakreślane przez odcinek jest równe iloczynowi długości odcinka przez długość drogi, jaką zakreśla środek tego odcinka.

Stosując powyższą obserwację do graniastorusa obok, widzimy, że jego pole powierzchni jest równe
    [tex] 2\pi w_1\cdot a+2\pi w_2\cdot a+2\pi w_3\cdot a+2\pi w_4\cdot a . [/tex]
Ponieważ [tex] w_1+w_2=2R[/tex] i [tex] w_3+w_4=2R[/tex] (dlaczego?), pole jest równe [tex] 8\pi R a.[/tex]


Stosując powyższą obserwację do graniastorusa obok widzimy, że jego pole powierzchni jest równe
    [tex]2\pi w_1\cdot a+2\pi w_2\cdot a+2\pi w_3\cdot a = 6\pi R a[/tex] ,
bo [tex] w_1+w_2+w_3=3R[/tex] (patrz rysunek).

Ogólnie, gdy graniastorus powstaje z obrotu n-kąta foremnego o boku a, którego środek jest odległy o R od osi obrotu, to jego pole powierzchni jest równe
    [tex] 2\pi w_1\cdot a+2\pi w_2\cdot a+\ldots+2\pi w_n\cdot a =2\pi a(w_1+w_2+\ldots+w_n)[/tex],
gdzie [tex] w_k[/tex] oznacza odległość środka k-tego boku od osi obrotu.
Ponieważ [tex] w_1+w_2+\ldots+w_n=nR[/tex] (podobnie jak dla trójkąta), mamy ostatecznie:
    [tex] pole= 2\pi R\cdot na[/tex], co lepiej przeczytać następująco:

pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót n-kąta foremnego jest równe iloczynowi obwodu tego wielokąta i drogi, jaką zakreśla środek tego wielokąta.

Podobnie jak wzór na pole powierzchni, wyprowadza się wzór na objętość takiej bryły. Mamy:

objętość bryły utworzonej przez obrót n-kąta foremnego jest równa iloczynowi pola powierzchni tego wielokąta i drogi, jaką zakreśla środek tego wielokąta.

(Sprawdź, że tak jest dla pierwszego z rozważanych graniastorusów.)

Obracając n-kąt foremny dla 'dużego' n, widzimy właściwie nie wielokąt, lecz koło i powstaje bardzo dobre przybliżenie zwykłego torusa.


Pole powierzchni i objętość torusa (powstałego z obrotu koła o promieniu r, którego środek jest odległy o R od osi obrotu) są przybliżane przez pola powierzchni i objętości graniastorusów. Zatem:

pole powierzchni torusa jest równe [tex] 2\pi r\cdot 2\pi R=4\pi^2rR[/tex],
a jego objętość wynosi [tex] \pi r^2\cdot 2\pi R=2\pi^2r^2R.[/tex]

Powrót na górę strony