Czy istnieje wzór na n-tą liczbę pierwszą?

To niesamowite. Zawsze mnie uczyli, że w matematyce nie ma wzoru na n-tą liczbę pierwszą. Rozumiałem to dosłownie. A tu masz... To się rzeczywiście nawet całkiem łatwo zapisuje wzorem, tylko że nie o zapis tu chodzi, a o efektywny sposób obliczania. Nigdy nie miałem świadomości, że to dwie różne sprawy. Że można wyprodukować taki całkowicie poprawny i całkowicie bezużyteczny wzór. Fajnie, że coś takiego zamieściliście.

Rzeczywiście. Masz zupełną rację. Mnie też tego uczyli.

Nie wszystko przychodzi bez wysiłku. To jest dość trudne, ale jak dla mnie, jest napisane w sposób raczej zrozumiały, a przykłady dobrze wyjaśniają kolejne kroki.

Popieram. Przeczytałem w miarę uważnie, ale bez specjalnego wysiłku. Napisane jest prosto, a przykłady wszystko wyjaśniają. Doszedłem do końca i bardzo mi się podobało.

Przypadkowo wymyśliłem takie coś: $$m=\frac{n!}{n}+n$$
n-dowolna liczba pierwsza
m-liczba pierwsza większa od n
Dla małych liczb się sprawdza;)

n=2, m=(n-1)!+n = 3, m = 3, true,
n=3, m=(n-1)!+n = 5, m = 5, true,
n=5, m=(n-1)!+n = 29, m = 29, true,
n=7, m=(n-1)!+n = 727, m = 727, true,
n=11, m=(n-1)!+n = 3628811, m = 3628811, true,
n=13, m=(n-1)!+n = 479001613, m = 29*6599*2503, false,
n=17, m=(n-1)!+n = 20922789888017, m =127*6385271*25801, false,
n=19, m=(n-1)!+n = 6402373705728019, m = 257*1483*1291883*13003, false,
n=23, m=(n-1)!+n = 1124000727777607680023 = 29*1049*117151079*315389197, false,
n=29, m=(n-1)!+n = 304888344611713860501504000029 = 123662437024088191*2465488728419, false

Moim zdaniem wzór istnieć nie może. Dlaczego? Każda liczba pierwsza to ni mniej, ni więcej, tylko zapełnienie pewnej luki. Weźmy jako pierwszą - dwójkę - i zaznaczajmy na osi liczbowej co dwie jednostki od zera liczby parzyste. Jedziemy dalej i wpadamy na trójkę, która się nie załapała do ciągu liczb parzystych, wiec ją zaznaczamy i jedziemy dalej. Postępujemy tak w nieskończoność i każda luka pomiędzy zaznaczonymi już  liczbami to liczba pierwsza. A dlaczego (moim zdaniem) wzór istnieć nie może? Bo przy każdym natrafieniu na liczbę pierwszą (zgodnie z opisaną procedurą) tworzy się nowy ciąg, który wszystko "psuje", a zatem, aby znać wzór, trzeba by znać wszystkie liczby pierwsze. A skoro ich jest nieskończenie wiele, to tego się nie da zrobić. A zresztą gdybyśmy znali wszystkie, to po co byłby nam wzór? :)

Precyzja i logika powyższego wywodu zwalają z nóg. Po pierwsze, wzór (jak widać z artykułu) jest, więc nie można udawać, że go nie ma. Po drugie, każdy ciąg arytmetyczny jest nieskończony i to wcale nie przeszkadza, żeby opisać go wzorem. Jedno z drugim nie ma nic wspólnego. Po trzecie, jeśli zbiór jakichś liczb jest nieskończony, to z definicji nieskończoności nie można "znać wszystkich" tych liczb. Jedyne co można, to właśnie opisać je wzorem.

Naprawdę dla małych liczb działa.

Skoro jest wzór na liczby pierwsze, to po co ludzie ukrywają, że go nie ma?

Ciekawostka: istnieje sposób (podobny do sita Eratostenesa ale szybszy) na wyznaczenie liczb pierwszych tzw. Sito Małgorzaty opisany pod linkiem: https://1drv.ms/b/s!AsqwpKK-51whhhzzvgOxdib8Y_rW

Ciekawostka: rozmieszczenie liczb pierwszych dobrze obrazuje Fraktal Rafała pokazany pod linkiem https://1drv.ms/b/s!AsqwpKK-51whhnSpIs0VqjqTgnrc

Przykład, że odległość liczb złożonych od danej liczby nie jest przypadkowa: https://1drv.ms/b/s!AsqwpKK-51whhyrXq3rEvKSwC62Q

W poprzednim wpisie przedstawiłem prosty algorytm Krystyny obliczający rozkład liczb złożonych wokół danej liczby. Okazuje się, że reszty dzielenia danej liczby można też obliczyć iteracyjnie (algorytm: iteracje Kamila). Przykład zaumieściłem pod linkiem: https://1drv.ms/b/s!AsqwpKK-51whhyxst9k9X9-1unaI
Algorytm iteracyjny operuje na mniejszych liczbach i dlatego może być szybszy dla wielkich liczb. Również ten algorytm pozwala na przetwarzanie rozproszone.

Liczby pierwsze -zbiór liczb pierwszych wbrew przekonaniu jest to zbiór skończony Wskazuje na to fakt że na każde 10000 liczb ilość liczb pierwszych maleje. W liczbach z 100 000 000 cyfr może występować jedna lub 2 liczby pierwsze które i tak zostaną wyeliminowane .Nadmieniam że w niedługim czasie opublikuję swoją miesięczną pracę i przedstawię wzór na liczby pierwsze, Mogę jeszcze poinformować że wszystkie liczby pierwsze jestem w stanie utworzyć wykorzystując tylko 3 cyfry od 1 do 9
Nadmieniam że zbiór liczb pierwszych jest bardzo regularnym zbiorem.
Po analizie stawiam hipotezę, że liczby pierwsze są ukrytym zapisem binarnym .

Marian, to bardzo ciekawe, co piszesz. Koniecznie przedstaw wyniki swojej pracy.

https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2304484982957609&set=pcb.2304487...

Nie ma możliwości uzyskać liczb pierwszych za pomocą jedynie 3 cyfr i to jeszcze z przedziału 1 do 9...
Skąd mam pewność?
Dlatego, że napisałem definicje i wyprowadziłem wzory (podkreślam liczbę mnogą!).
Tą wiedzą dysponowaliśmy już dano temu, nim świat został zniszczony...

Jedyna prawda z tego, to, że przypuszczalnie zbiór liczb pierwszych jest skończony, bowiem pomimo tego, że każdy kolejny blok w którym znajdują się liczby pierwsze stale zwiększa się, to ilość liczb pierwszych bardzo powoli zmniejsza się.
Tym samym oznacza to, że dąży on do wartości zerowej, a więc wskazuje na to, że powinna istnieć ostatnia liczba pierwsza - "klucz", pytanie do czego, skoro pewne kręgi są w stanie za znalezienie jego oddać wiele "śmieciowych skarbów"...

Co więcej, nie jest prawdą, że liczby pierwsze występują chaotycznie, gdyż są one jak najbardziej uporządkowane, a ich występowanie jest w pewnym sensie bardzo uporządkowane...
Kto nie dotarł przynajmniej do tego miejsca, to jest daleko w "lesie" i nigdy nie znajdzie wzoru na liczby pierwsze...

Pozdrawiam wszystkich i życzę sukcesów w poszukiwaniu.

Zamiast plików w Excelu fraktal Rafała można opisać wzorem:
f(y)= n + x * (-1)^{n} + (3*x + 0.5 - 0.5 * (-1)^{x}) * (n + 0.5 - 0.5 * (-1)^{n})
gdzie n > 0 i x >0 oraz x,n należy do liczb naturalnych. Liczba x określa kolejne wystąpienie liczby "złożonej" dla n. Dodatkowo zachodzi zależność jezeli:
x parzyste, n parzyste to f(y) parzyste
x parzyste, n nieparzyste to f(y) nieparzyste
x nieparzyste, n parzyste to f(y) nieparzyste
x nieparzyste, n nieparzyste to f(y) parzyste

Związek liczb złożonych z fraktalem Rafała jest następujący:
f(z)= 3 * f(y) + 1.5 - 0.5 *(-1)^{x+n}
gdzie f(y) funkcja generująca liczby tworzące fraktal Rafał dla wartości x i n.

Jeżeli dla wzoru f(y) wprowadzimy ograniczenie x >= n oraz f(y) <= Ym to otrzymamy tzw. sito Małgorzaty w przedziale liczb naturalnych (1,Ym).
Związek wartości Y z przedziału (1,Ym) z liczbami (złożonymi i pierwszymi) jest następujący:
f(L)= 3 * Y + 2 dla wartości nieparzystych Y lub
f(L)= 3 * Y + 1 dla wartości parzystych Y
oraz f(L) jest liczbą złożoną jeżeli wartość Y została wyznaczona przez f(y).

nie jestem matematykiem i mam swoje lata ale myślę że mogę podać 12 liczb jeszcze nie odkrytych z których jedna będzie liczbą pierwsza jeszcze nie znalezioną trzeba tylko sprawdzić te 12 liczb tak można znaleźć następną i następną pomijając po drodze wiele liczb leżących jedna za drugą sprawdziłem to do 2 bilionów bazując oczywiście na liczbach znanych i się sprawdziło Mogę podać to za dużo powiedziane ale sposób jest prosty

Witam
tez nie jestem matematykiem, ale być może domyłam się na czym ta metoda może polegać. Jakiś czas temu wykonałem trochę testów, realizując pewien pomysł i okazuje się, że można określić, które liczby są pierwszymi. Może to zakrawać na szaleństwo, ale problem okazał się dość trywialny. Nie wiem, czy da się z tego stworzyć wzór, ale sama metoda działa, ale testowałem ją jedynie na relatywnie małych wartościach (kilka milionów): braki techniczne. Miejsca występowania liczb pierwszych w pewnym przedziale są stałe, pozostałe miejsca są eliminowane przez pewne czynniki, które chyba dało się ustalić i które są obliczalne.
Jeśli ktoś to przeczytał, może uznać to za bredzenie szaleńca, sam też się zastanawiam od jakiegoś czasu, czy to co ustaliłem naprawdę ma jakiś sens (tak,działa, ale może wszyscy to wiedzą), a może robię jakiś logiczny błąd.
A może to przekleństwo liczb pierwszych?

Jak już pisałem fraktal Rafała można opisać wzorem:
f(y)= n + x * (-1)^{n} + (3*x + 0.5 - 0.5 * (-1)^{x}) * (n + 0.5 - 0.5 * (-1)^{n})
gdzie n > 0 i x >0 oraz x, n należy do liczb naturalnych.

W celu ułatwienia zrozumienia dalszej analizy zrobię małe podsumowanie:
1) Sito Małgorzaty to fraktal Rafała przy założeniu, że x>=n oraz f(y) gdzie Ym wyznacza górną granicę sita tj. wartości f(y) należą do przedziału (1,Ym).
Dodatkowo dla n=f(yn) dla dowolnego x wartości f(y) można pominąć – nie mają
wpływu na wynik sita, a jedynie wykonuje się mniej obliczeń.
2) Dla wartości f(y) fraktala Rafała zachodzą zależności:
- x parzyste, n parzyste to f(y) parzyste
- x parzyste, n nieparzyste to f(y) nieparzyste
- x nieparzyste, n parzyste to f(y) nieparzyste
- x nieparzyste, n nieparzyste to f(y) parzyste
Poszczególne warianty sita liczb będą tworzone poprzez branie do dalszej
analizy parzystych lub nieparzystych wierszy tabeli:
wiersze (1,Ys), kolumny n.
(n powiązane z Ly – Ly=3 * n + 1,5 – 0,5 * (-1)^n)
3) Szczególną uwagę można zwrócić na wynik działania fraktal Rafała dla n=1 i n=2
dla dowolnego x. W analizie posłuży to do wyliczenia „podstawy” wyznaczenia różnych wariantów sita liczb.
4) Analizowane będą różne warianty sita liczb – dające wartość f(ys) w przedziale
(1,Ys). Jeżeli związek pomiędzy wartościami ys a y (zależny jest od wyboru wierszy parzystych i nieparzystych tabeli wspomnianej w punkcie 2) określimy jako funkcję y=P(ys), to wartości ys z przedziału (1,Ys) z liczbami (złożonymi i pierwszymi) dla każdego wariantu sita liczb można zapisać ogólnie:
f(L)= 3 * P(ys) + 2 dla wartości nieparzystych P(ys) lub
f(L)= 3 * P(ys) + 1 dla wartości parzystych P(ys)
oraz f(L) jest liczbą złożoną jeżeli wartość ys została wyznaczona przez f(ys).

Korzystając z możliwości wyboru wierszy parzystych (sito_p) lub nieparzystych (sito_n) tworzymy dwa niezależne sita liczb. Dalsze przetwarzanie i analiza sita liczb w obu przypadkach jest podoba:
- dla każdej kolumny n mamy pierwszą wyznaczoną wartość ys1,
którą można określić jako podstawa;
- pozostałe wartości dla kolumny n są w odległości Ly
(Ly=3 * n + 1,5 – 0,5 * (-1)^n).

Jeżeli dla jednego z wybranych sit liczb zaczniemy znowu wybierać wiersze parzyste i nieparzyste tworzymy kolejny wariant sita liczb. Powtarzając tę czynność można tworzyć kolejne sita liczb. Zauważyć można, że tak tworzone sito licz zawiera w kolumnie n pierwszą wartość ys1, którą można nazwać podstawą tworzenia sita. Pozostałe wartości w kolumnie n są zawsze w odległości Ly.
Dodatkowo jeżeli wartość ys1 ma być uwzględniona w docelowy sicie liczb, a jest w odrzucanych wierszach, to bierzemy ys1+Ly jako podstawę do kolejnego sita.

Jako ciekawostkę mogę podać sito liczb utworzone poprzez trzykrotnie wybranie parzystych wierszy. Jego zaletą jest to, że wyrazy ys1 dla kolejnych kolumn n tworzą ciąg, którego elementy różnią się o wartość n/(1,5 - 0,5 * (-1)^n) oraz wyrazy ys1 odpowiadają kwadratom liczb Ly. Pozostałe wartości ys w danej kolumnie są w odległości Ly.

Ostatnim zdaniu we wzorze wkradł się błąd we wzorze - poprawiony fragmemt zamieszczam poniżej:

Jako ciekawostkę mogę podać sito liczb utworzone poprzez trzykrotnie wybranie parzystych wierszy. Jego zaletą jest to, że wyrazy ys1 dla kolejnych kolumn n tworzą ciąg, którego elementy różnią się o wartość n/(1,5 + 0,5 * (-1)^n) oraz wyrazy ys1 odpowiadają kwadratom liczb Ly. Pozostałe wartości ys w danej kolumnie są w odległości Ly.

W nawiązaniu do wyżej zamieszczonych informacji chciałem zaprezentować ciekawą tabelę. Zdefinujmy tabelę Y mającą k kolumn i w wierszy. Wartości k, w należą do liczb naturalnych oraz k > 0 i w > 0. Wybrany element tabeli będziemy oznaczać Y[w,k]. 

Dodatkowo zdefinujmy liczbę LW taką, że: LW =3*w+1,5 - 0,5*(-1)^w

tj. dla w parzystych LW= 3*w+1 a dla w nieparzystych LW=3*w+2

Dla wartości k=1 elementy Y[w,1] przyjmują wartości:

dla w parzyste Y[w,1] = w+1 a dla w nieparzyste Y[w,1] = (w+1)/2

Natomiast  dla wartości k>1 elementy Y[w,k] przyjmują wartości:

dla Y[w,k-1] parzyste i k parzyste                
Y[w,k] = (Y[w,k-1] + 1 + LW)/2

dla Y[w,k-1] nieparzyste i k parzyste       
   Y[w,k] = (Y[w,k-1] + 1)/2

dla Y[w,k-1] parzyste i k nieparzyste       
   Y[w,k] = Y[w,k-1]/2

dla Y[w,k-1] nieparzyste i k nieparzyste     
 Y[w,k] = (Y[w,k-1] + LW)/2

Przy tak zdefiniowanej tabeli Y, wprowadźmy jeszcze jedną liczbę:

M = 2^k - 1, gdzie k > 2

dodatkowo jeżeli k będzie liczbą pierwszą oraz Y[w,k] różne  od  1 dla w <= (M-1)/6, to ze 100% pewnością można powiedzieć, że liczba M dla danego k jest liczbą pierwszą.

Okazuje się też, że wartości Y[w,k] dla danego w powtarzają się okresowo w odstępach mniejszych lub równych LW-1.

W ostatnim komentarzu powinno być dla w nieparzyste Y[w,1] = (w+1)*2

Po poprawie:

Dla wartości k=1 elementy Y[w,1] przyjmują wartości:

dla w parzyste Y[w,1] = w+1 a dla w nieparzyste Y[w,1] = (w+1)*2

Zbiór liczba naturalnych jest nieskończony, a więc z twierdzenia Czebyszewa
mamy zbiór liczb pierwszych jest nieskończony. CKD.

Liczby pierwsze to zbiór skończony i krpka
1 Liczby pierwsze to wbrew kłamliwej nauce jest to zbiór skończony ,
2- liczby pierwsze to nic innego jak tylko najmniejsza księga o najdłuższym tekscie
3- Jest to księga w której zapisana jest przeszłość i przyszłść
4- W innej konfiguracji liczby te pokazują rozkład pierwiastków promieniotwórczych a jeszcze w innej przeszłość i przyszłość.

5- Np przyszłość całkowity upadek cyfryzaci i kryptografi ponieważ istnieją wzory na autoryzacje tzn. mając liczbę pierwszą w kilka sekund lub minut przy urzyciu słabego komputera znajdę jej 2 pdzielniki nawet jeżeli liczba pnad 2000 cyfr .Obecna kryptografia to zaledwie 500 cyfr
6 -przyszłość ostrzegają o 2023r 277x7 = ??? 277+12=289 289x7= ??? nie jest to zbieg okoliczności.Dodana Liczba 12 symbolizuje pełny obieg galaktyczny 360 stopni x72 lata
(precesja ziemi) 72/12 = 6
6 z koleji jest podstawą zapisy i odzwierciedla się w liczbach pierwszych
1+6+6+6 do niesknczonosci lub -1 + 6 + 6 + 6 .....do nieskończoności to daje nam 2 ciągi liczb w których znajdują się wszystkie kiczby pierwsze raz ich iloczyny. 1 + 12 +12+12 ......do nieskończoności w tym ciągu są wszystkie kwadraty liczb pierwszych.
Troszkę dziwne ale prawdziwe Podobnie jak prawdziwe jest to że nie trzeba mieć wstrzepionego czipu a tylko odpowiednie białko które poddaje się prodramowaniu i może przechowywać znacznie wiecej informacji niż znane nam dyski
Wnioski proszę wyciągnąć samemu gdyż nie dorślismy do tego aby poznać księgę przeznaczenia zapisaną w liczbach pierwszych.
Na zakończenie chciałem poinformować że wkrótce ziemia spowije się ogniem a co do wzoru to pomnóż liczbę 1723 przez inną liczbę pierwszą i podziel przez 861,5 a wynik przez 2 i otrzymasz liczbę przez którą pomnożyłeś

md

Wzór istnieje CO to jest Liczba Pierwsza.
Każdy z nas ma zegar tarcziwy z 12 godzinami i to jest rzwiązanie problemu liczb pierwszych.
godzina 1 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 .........
wynik to 1 ,13,25,37,49.61,73,85,97,109,121, ..... jak wspomniałem we wcześniejszym wpisie mamy w tym ciągu wszystkie kwadraty liczb pierwszych,
godzina 5 +12+12 +12 +12 +12+ 12...............
wynik to 5,17,29,41,53,65,77,............... o 4 więcej jak na godzinie 1
godzina 7 +12+12+12+12+12+12................
wynik to 7,19,31,43,55,67.................. o 2 więcej jak na godzinie 5
godzina 11+12+12+12+12+12 .....................
wynik to 11,23,35,47,59,71 ................... o dziesięć więcej jak na godz 1
Dlatego proszę nie dajcie zrobić sobie gąbki z mózgu .Układ dziesiętny został nam wprowadzony po to aby ograniczyć nasze zdolności zrzumienia wszechświata
Proszę zauważyć że 2 ciągi utworzone zliczby 1+ 6+6.... i 5+6+6..... są odzwierciedleniem dwuch nici naszeg DNA Matomiast liczby które nie są w tych ciągach liczbami pierwszymi łatwo je poznać w następujący sposób
Przykładwo Jeżeki do liczbę pierwszą pmnożymy przez 6 lub wielokrotność liczby 6 i do otrzymanego wyniku dodamy tą liczbę to zawsze będzie podzielna przez tą liczbę
Pdobnie jeżeli od wyniku odejmniemy tą liczbę to również zawsze będzie pdzielna przez tą liczbę
Przykład 23X6 =138 138 +23 =161 161/23=7 138-23=115 115/23=5
i tak 23x12 plus minus 23 23x18 ,23x24 i td. Tak od nieskończoności i tak w oto prosty sposób mamy kolejne liczby które są iloczynami liczby 23
Identycznie zachowują się wszystkie pozostałe liczby pierwsze co można zapisać wzorem dającym autoryzacje (znalezienie dwóch dzielników iloczynu liczb pierwszych.ale istnieje jeszcze inny wzór - znacznie łatwiejszy .
Chciałem jeszcze zwrócić uwagę że ciągi liczb pierwszych są cyklicznie pwtażającymi się a kluczem jest liczba 60 i tu przykład z godziny 1
1+60 ,13+60,25+60 37+60, 49+60, ..... 1+120, 13+120 25+120, 37+120, 49+120, itp
podobnie jest z pozostałymi liczbami pierwszymi w zakresie od 1 do 59 i to nie jest zbieg okoliczności ze liczby
Dlatego publicznie stwierdzam że Funkcja dzeta Riemanna jest nieprawdziwa gdyż jeżeli istnieje rozwiązanie na liczbach rzeczywistych to nie wolno stosować liczb urojonych. Prawdziwe jest w niej tylko to że stanowi wycinek jednego zapisu w liczbach dotyczącego rozkłady pierwiastków promieniotwórczych .
Na zakończenie chciałbym poinformować że zakodowana infrmacja w liczbach pierwszych jest tzw księgą przeznaczenia lub księgą zawierającż krniki Akaszy
dodane przez MD

Ja prdl…
Pomnoz liczbe 67 przez inna liczbe pierwsza, podziel przez 33,5 a wynik przez 2 i zazyj lek na schizofrenie.
Czemu liczby pierwsze przyciagaja oszolomow?

Jak liczbe pierwsza lub zlozona pomnozysz przez 4 i dodasz 4 to bedzie sie dzielic przez 4. Wlasciwie kazda liczbe jak przemnozysz przez x i dodasz x to bedzie sie dzielic przez x
xD
Serio, zajmij sie swoim zdrowiem zamiast budowac obsesje

I dla walki z twoja obsesja. Liczby pierwsze sa ciagiem nieskonczonym, tak jak liczby naturalne. To, ze czestotliwosc ich wystepowania maleje z czasem nie oznacza, ze spada do zera. Wystarczy, by liczba pierwsza wystepowala z czasem co 100, 1000, 100000000 liczb i twoja teoria idzie sie opalac. Liczby pierwsze sa budulcem liczb naturalnych.
Moze to cie wyciagnie z psychozy:
Powiedz mi czy liczba:
73849675937465098173647589098765152437587639087627
Jest liczba pierwsza czy nie. Jezeli nie podaj mi kolejna liczbe pierwsza po tej liczbie podanej.
Jak nie potrafisz tego zrobic to zglos sie do psychologa, ok?

Jak pisałem we wcześniejszych postach wystepując jako Marian lub MD ujawnie swój e mail metaloplast@gmail.com
Obecnie mamy rok 2023 i nadszedł czas na ujawnienie wzoru na ciągi liczb pierwszych. Są to dwa wzory
Pierwszy wzór z liczbą 7 a drugi z liczbą 5 ponieważ liczby pierwsze składają się z dwóch ciągów

1. 7x-(x-1) gdzie x należe od 0 do nieskończoności
2. 5x +(x-1) gdzie x należy od 0 do nieskończoności

w ten sposób utworzą się dwa ciągi :

Pierwszy 1,7,13,19,25,31 ..........itd
Drugi _1,5,11,17,23,29..........itd

z utwożonych ciągów należy wykluczyć liczby podzielne co czynimy używając wzorów
6n[7x-(x-1)]+[7x-(x-1)] oraz 6n[7x-(x-1)]-[7x-(x-1)]
gdzie n należy od 1 do nieskończoności

6n[5x+(x-1)]+[5x+(x-1)] oraz 6n[5x+(x-1)]-[5x+(x-1)]

przykład przy n =1 i n=2 i x=1 i x=2 w obu wzorach

6x7+7 = 49 6x7-7 =35 gdy x=1 n=1
6x13+13=91 6x13-13=65 gdy x=2 a n =1

12x7+7 = 91 12x7-7 = 77 gdy n=2 a x=1
12x13+13=169 12x13-13=143 gdy n=2 i x=2

6x5+5 =35 6x5-5 =25 gdy x=1 i n=1
12x5+5=65 12x5-5=55 gdy x=1 a n=2

12x5+5=65 12x5-5=55 gdy n=2 a x=1
12x11+11=143 12x11-11=121 gdy n=2 i x=2

Jak wynika z przykłady uzyskane wyniki wchdzące w skład ciągów sa pdzielne i wykonując takie wykluczenie dojdziemy do etapu gdzie nie będą występowały już liczby pierwsze.
Latwiejszym sposobem wykluczania liczb pdzielnych a zarazem poznania ich wartości jest wzór 6n x liczba pierwsza i dodanie lub odięcie Liczby pierwszej
gdzie n przyjmuje kolejno wartość od 1 do nieskończoności.
W ten oto sposób liczby pierwsze z utworzonych ciągów zostaną całkowicie wykluczone i staną się liczbami podzielnymi i to jest dowodem na to że liczby pierwsze są zbiorem skończonym
Obecnie liczby pierwsze wykorzystywane są do określonego i zamierzonego celu ,dlatego chciałbym upublicznić wzór na tzw autoryzacje tj znalezienie 2 liczb pierwszych posiadając jedynie wynik iloczynu wzór jest prosty
wynik iloczynu liczb pierwszych dzielimy na 2 a następnie przez wielokrotność liczby 3 plus minus 0,5 3x+05 i 3x-05
przykład (121/2 ) a następnie na 5,5 (169/2) a następnie na 6,5
Wielokrotność liczby 3 + i minus 05 0,5 ,2,5 ,3,5 ,5,5, 6,5 ,8,5,9,5 itd
Jak z tego widać każdy komputer przy odpowiednim programie jest w stanie szybko znaleść dwie liczby pierwsze które stanowią żekomo nasze zabezpieczenie danych pieniędzy itd itd .Cz po tym wpisie czujesz się bezpieczny MD

Marian MD, mimo że piszesz w sposób tochę mało czytelny, to masz jednak fajny pomysł z rozkładaniem na czynniki iloczynu dwóch liczb.
Problem w tym, że aby przeprowadzić tym sposobem rozkład iloczynu dwóch liczb z zakresu choćby już tylko 10^40 przy użyciu komputera o standardowej mocy obliczeniowej, to byłby to pewnie czas dłuższy, niż który upłynął od początku Wszechświata. Wskazuję przy tym, że kryptografia bazuje dziś na iloczynie dwóch liczb pierwszych z zakresu 10^300.

Co do zauważenia, że występowanie liczb pierwszych można ograniczyć do dwóch ciągów 6n-1 oraz 6n+1 to również racja, choć nie masz już racji, że można dojść do etapu, w którym nie będą występowały liczby pierwsze.

Liczby pierwsze to takie miejsca (pozycje liczbowe) w zbiorze liczb naturalnych, przez które nie przeszedł żaden łańcuch (wielokrotność) mniejszych od tej pozycji liczb pierwszych, wybijając te pozycje do grona liczb złożonych.
Fakt ten został częściowo zauważony przez Eratostenesa, którego sito wyłuskiwania liczb pierwszych stosujemy do dzisiaj.

Zauważ więc, że liczby pierwsze to dziewicze pozycje zbioru liczb naturalnych - istniejące w tym zbiorze zanim zostały/zostają przeprowadzone w tym zbiorze łańcuchy wcześniejszych liczb pierwszych.
Nie jest więc możliwe pokrycie wszystkich pozycji liczbowych zbioru liczb naturalnych wielokrotnościami liczb niższych od tych pozycji (czyli jak to nazywam: łańcuchami liczb pierwszych).

Po więcej na temat liczb pierwszych zapraszam do lektury mojej książki wydanej w 2022 "Liczby pierwsze. Dotknięcie granicy stworzenia" wyjaśniającej w sposób przystępny, językiem nie matematycznym wiele zagadnień dotyczących liczb pierwszych.
Książka jest do nabycia w sklepie na: Rai-world.org

Miłego,
Krzysztof P. Maj

Nie istnieje wzór na liczbę pierwszą i istniał nie będzie. Dlaczego? Bo liczby pierwsze są niezastemplowanymi miejscami na taśmie liczb, które stemplują krasnoludki:)

Pierwszy krasnoludek stempluje co dwa miejsca taśmę. Jego pierwszy stempel to liczba pierwsza 2. przejechała taśma z trójką i jest pusta. Kolejny krasnoludek dostał stempel i zaczął stemplować taśmę co trzy miejsca. Liczba pięć jest niezastemplowana. Trzeci krasnoludek dostał pracę i na taśmie obok trójki zaczął stemplować co pieć ruchów taśmy p. Gdy taśma coraz rzadziej zaczęła ujawniać puste miejsca coraz mniej krasnoludków dostawało pracę i one coraz rzadziej musiały stemplować.
Milionowy krasnoludek stemplował taśmę raz na 15,485,863 miejsc. Musiał być bardzo uważny, żeby nie przespać swojego miejsca na taśmie.
Wszyscy wiedzą, że coraz więcej krasnoludków trzeba do stemplowania, że jest ich nieskończona ilość, ale nikt nie potrafi powiedzieć dokładnie kiedy nastąpi kolejny czas zatrudniania konkretnego krasnoludka.
Do tego potrzebne jest sito Eratotenesa.

Podaję "wzór" probabilistyczny na Pi(n) (liczbę liczb pierwszych w danym przedziale od 1 do n.)

Aby obliczyć przybliżoną ilość liczb pierwszych musimy znać liczby pierwsze od 1 do n^0,5.
Algorytm:

Pi(n) =~ n * (1/2 * 2/3 * 4/5 *...* (x-1)/x) + Pi(n^0,5)
gdzie xi <=n^0,5
xi liczba pierwsza
Pi(n^0,5) - obliczane tradycyjnie

Uniknąłem obliczania z zasady włączeń i wyłączeń za pomocą prawdopodobieństwa 1-P(A), gdzie P(A) to liczba podzielna przez daną liczbę pierwszą.

Suma na końcu jest potrzebna, ponieważ liczby pierwsze podzielne przez liczby pierwsze z wzoru muszą także być uwzględniane, a prawdopodobieństwo je odrzuca.

*Eratostenesa

@L23
Pytanie nie do mnie, ale odpowiem
73849675937465098173647589098765152437587639087627 = 13 × 379 × 82955273911 × 180684970840920155362318421472242291

Najmniejsza liczba pierwsza większa od niej to liczba przystająca 1(mod 6)
73849675937465098173647589098765152437587639087627+2+6*23=73849675937465098173647589098765152437587639087767 is prime

Euler's totient: 73849675937465098173647589098765152437587639087766
Möbius: -1

n = a² + b² + c² + d²

a = 5149500068393862640917614

b = 4860493821216585432451501

c = 4860493821216585432451501

d = 289006247177277208466113

We wzorze nie uwzględniłem jedynki, która nie jest liczbą pierwszą, a jest niepodzielna przez inne liczby pierwsze.
Poprawiony:
Pi(n) =~ n * (1/2 * 2/3 * 4/5 *...* (x-1)/x) + Pi(n^0,5) -1

@MD

"Jak wynika z przykłady uzyskane wyniki wchodzące w skład ciągów są podzielne i wykonując takie wykluczenie dojdziemy do etapu gdzie nie będą występowały już liczby pierwsze."

Masz po części rację, ale tylko po części.
W tych dwóch ciągach 6n+1, 6n-1 zawierających wszystkie liczby pierwsze liczbami "wykreślającymi" kolejne są odpowiednio:
Dla 6n-1 te same które należą do tego ciągu i to jest ciekawostka.
dla n =1 mamy liczbę 5. I ona będzie "wykreślać" kolejne wyrazy tego ciągu w cyklu 5. Czyli 5+(5*6)*1, 5 + (5*6)*2, 5 + (5*6)*k
dla n=2 , wykreślającą będzie 11, należącą do tego ciągu,
czyli 11+11*6*1, 11+11*6*2. 11+11*6*k
Nigdy jednak nie dojdzie do momentu, że wszystkie te cykliczne liczy pierwsze wykreślające wyrazu ciągu pozbawią nas nowych liczb pierwszych.
O tym także mówi nam twierdzenie Dirichleta (1837)

Ciąg 6n+1 jest inny. Tam "wykreślają" zarówno liczby pierwsze należące do tego ciągu, jak i liczby pierwsze należące do ciągu 6n-1.
Np. 25 = 6*4+1
25= 5*5

To o czym mówisz, że nie będzie już więcej liczb pierwszych w danym przedziale to "prime gap".

Jest wiele wzorów na obliczanie prime gap'u

Najprostszy to silnia z danej liczby.

Jeżeli chcesz mieć np pięć kolejnych liczb które nie są liczbami pierwszymi to musisz obliczyć silnię 6.

6!+2 - podzielne przez 2
6!+3 - podzielne przez 3
6!+4 podzielne przez 4
6!+5 podzielne przez 5
6!+6 - podzielne przez 6

Jeżeli chcesz odkryć przedział liczbowy który przez "jeden i sto milionów cyfr" liczb nie ma liczb pierwszych (n; n+"jeden i sto milionów cyfr) to musisz tę liczbę o długości przedziału bez liczb pierwszych plus jeden podnieść do silni. To niewyobrażalne liczby, ale istnieją.
Ale "po tym" przedziale i tak na pewno będzie nieskończona liczba liczb pierwszych, które nie dadzą się wykreślić przez cykliczne wyrazy ciągów 6n+1
6n-1.

Pragniemy uzyskać wzór na liczbę pierwszą.
Ale posiadamy wzór na liczbę złożoną c !
c= a*b, gdzie a i b to liczby naturalne większe od jeden, gdzie a może równać się b.

I co to nam daje? Informację, że liczby te nie są pierwsze. Ale gdybyśmy z tego wzoru wyłuskali wzór na kolejne liczby złożone, to odkrylibyśmy "Święty Graal teorii liczb" czyli wzór na n-tą liczbę pierwszą.
To czego spodziewamy się po udowodnieniu hipotezy Riemanna.

Załóżmy, że mamy dwa zbiory a od 2 do 10 i b od 2 do 10. Jeżeli przemnożymy każdy wyraz przez każdy z tego wzoru uzyskamy zbiór licz złożonych. Pewne liczby będą się powtarzać, więc aby pozbyć się tych powtórzonych liczb można potraktować to jako 2 elementową kombinację 9 elementowego zbioru z powtórzeniami, gdzie nie ważna jest kolejność w iloczynie.
2*2, 2*3, 2*4, 2*5 ...2*10
3*3, 3*4...3*10
...
...9*9, 9*10,
10*10

2*2, to pierwsza liczba złożona,
2*3, to druga
2*4 to trzecia,
ale 3*3 to czwarta liczba złożona,
Gdy dojdziemy do liczby 21, to kolejna po niej liczba złożona to 11*2
Jedenastka nie jest w zbiorze - sprawa się zaczyna komplikować...
Dodatkowo 4*4 = 2*8 dają nam te same wyniki.

Obliczenie n-tej liczby złożonej jak i liczebności liczb złożonych w danym przedziale (2, n) nie jest trywialne.

...

* W tych dwóch ciągach 6n+1, 6n-1 zawierających wszystkie liczby pierwsze WIĘKSZE OD 3

Hipoteza:

Liczba liczb pierwszych w przedziale (Pi^2,P(i+1)^2),
gdzie Pi oznacza i-tą liczbę pierwszą, a P(i+1) kolejną (ang.successive prime number) liczbę pierwszą,
nie przekracza wartości obliczonej ze wzoru:

π(P(i+1)^2)-π(P(i)^2)<(1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*...*((Pi-1)/Pi)*((P(i+1)-1)/P(i+1))*(P(i+1)^2-Pi^2)+1

Znalazłem coś, co może być dla Ciebie interesujące.
Znalazłem algorytm pozwalający znaleźć dowolnie dużą liczbę pierwszą.

Moje rozwiązanie, aby znaleźć dowolnie dużą liczbę pierwszą - po prostu użyj tego równania:

Jeśli: ^ oznacza podniesione do potęgi, a n jest dowolną liczbą naturalną większą niż 0, a m, o, p, q są dowolnymi liczbami naturalnymi, łącznie z 0.
i istnieje liczba: z=n-(m+o+p/2+q/2) która jest liczbą dodatnią lub zerem.
Następnie:

(7^(n-(m+o+p+q)))*(5^m)*(3^o)*(2^p)*(2^q)+1=PRIME, jeśli jest nieparzysta numer

Że jest to jednocześnie dowód na to, że istnieje nieskończona ilość liczb pierwszych.

EDIT: Poprzedni wzór nie był poprawny ten już jest

Wzór na weryfikacje dowolnej liczby jako liczba pierwsza:

Π[j=2,j=N-1](sin(π*N/j))=x

x=0 jeśli N nie jest liczbą pierwszą
x>0 jeśli N jest liczbą pierwszą

Kolejność liczb pierwszych określa się następująco:
podstawiając liczbę N od 0 do nieskończoności otrzymujemy wynik x=0 lub x>0.
Pierwsza liczba, która da po podstawieniu do wzoru wynik x>0 jest pierwszą liczbą pierwszą, druga liczba która da taki wynik jest drugą liczbą pierwszą itd.

Uczyli w szkole, że nie ma wzoru ogólnego. Rekurencyjny jest nieprzydatny. Na oko wydaje mi się, że sito Eratostenesa jako metoda brutalna, jest mniej złożone obliczeniowo. A ci, co wpadli na powyższy wzór są moim zdaniem kosmitami

@ Bożydar
Jestem pod wrażeniem. Zgrabny pastisz moich postów.
Co do meritum, pierwszy Twój wzór poniekąd ciekawy, przypomina postać liczb pierwszych uzyskanych przez dodanie lub odjęcie od primorialu jedynki.

Badanie tych liczb na pierwszość pozwoliło "uzyskać" dość duże liczby pierwsze
np. jak podaje żródło: t5k.org/largest.html liczba pierwsza 3267113#-1 posiada w postaci dziesiętnej ponad milion cyfr.

Wracając do tematu, hipotetyczne znalezienie świętego Graala teorii liczb, czyli wzoru na ntą liczbę pierwszą nie rozwiąże innych problemów, np problemu powolnej faktoryzacji dużych liczb złożonych.

Dużo inwestuje się w komputery kwantowe, ale to jeszcze długa droga do jakiegoś znaczącego przełomu.

Przyczyną tej trudności jest wielość liczb złożonych o dwóch czynnikach pierwszych w danym przedziale liczbowym.
Już dla takiego "małego"
zbioru liczb naturalnych ( przedziału ) od 1 do n, gdzie n>=34, zbiór liczb złożonych o dwóch czynnikach pierwszych jest największy w stosunku do zbioru liczb pierwszych, liczb o 3 i więcej czynników pierwszych.

Poniższy wzór definiuje nieskończony ciąg liczb pierwszych bez potrzeby jakiejkolwiek faktoryzacji:

{(2), (3), (5), (6m+1), (6n-1) | m > 0, m mod 10 ≠ 4, m mod 10 ≠ 9, n > 0, n mod 10 ≠ 1, n mod 10 ≠ 6} \ {(6m+1)*(6n-1), (6m+1)*(6m+1), (6n-1)*(6n-1) | m > 0, m mod 10 ≠ 4, m mod 10 ≠ 9, n > 0 , n mod 10 ≠ 1, n mod 10 ≠ 6}

Generowanie liczb pierwszych zawsze zaczynamy od liczby 1 i dążymy do nieskończoności.

Więcej informacji pod adresem https://marsik.co.pl/