Rolling Stones (2) - Polygon Rover

Data ostatniej modyfikacji:
2009-01-5
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą

Znana firma motoryzacyjna wypuściła ostatnio na rynek nową serię rowerów terenowych o trochę mylącej nazwie Polygon Rover. Nazwa nie pochodzi od słowa 'poligon', lecz od 'polygon' (ang. wielokąt). Rowery te mają koła... kwadratowe lub w kształcie innych wielokątów foremnych. Zbadamy ich własności.





Ciekawe są tylko rowery, w których koła nie jadą 'tak samo', ale są względem siebie obrócone o 120+60 stopni w przypadku 3-roveru i o stopni w przypadku 4-roveru.
Gdy połączymy ramą piasty tych kół i w środku zamontujemy siodełko, to jazda wydaje się możliwa, choć pewnie będzie trochę trząść. Może się nawet wydawać, że lekkie pochylenie do przodu (patrz rys.) spowoduje, że przednie koło - wytrącone z równowagi - pociągnie tylne, więc prawie bez wysiłku uzyskamy perpetum mobile. Niestety to tylko złudzenie. Fizyka podpowiada, że ważny tu jest moment obrotowy; krótko mówiąc: tylne koło wymaga dużo większej siły, by je podnieść z leżącej pozycji, niż uzyskamy ze spadku przedniego koła. Pomińmy jednak prawa fizyki i zajmijmy się geometrią.

Na początek (dla rozgrzewki) obliczmy coś. Przyjmijmy, że boki "kół" mają długość a oraz że odległość środków obrotów tych kół też jest równa a.

ZADANIE 1. Oblicz długość ramy łączącej piasty kół w 3-roverze i 4-roverze.

Kluczem do rozwiązania jest narysowanie odpowiedniego odcinka. Jeśli dalej nie wiesz, kliknij na rysunki.

ODP.
rama w 3-roverze ma długość
rama w 4-roverze ma długość



ZADANIE 2. Oblicz długość ramy w 3-roverze, gdy jest pozioma (równoległa do drogi).

Uwaga. W przypadku 4-rovera zadanie to jest znacznie trudniejsze -

ODP.
rama w poziomym położeniu w 3-roverze ma długość
rama w poziomym położeniu w 4-roverze ma długość

Ot, dwa zadania. Jaki z nich wniosek? Nieoczekiwany! Ponieważ odpowiedzi są różne więc

WNIOSEK. W takich roverach ramy muszą zmieniać długość!

Chyba że zamiast łączyć piasty, znajdziemy inne punkty obu kół, których odległość w czasie jazdy (obrotu) jest stała. Czy są takie punkty? Powrócimy do tego pytania na końcu tych rozważań. Teraz zbadamy, jak trzęsie w czasie jazdy.


Przyjrzyjmy się dokładniej.

przytrzymaj:  

Piasty roverów poruszają się po łukach pewnych okręgów. A co z siodełkiem, które zamocowane jest w środku ramy?


ZADANIE 3. Czy środki ram poruszają się po łukach pewnych okręgów?

Eksperymenty pokazują, że tak faktycznie jest.
Co więcej, widać, że siodełka poruszają się po łukach pewnych okręgów także wtedy, gdy:
 
siodełka leżą w 2/3 lub 1/3 długości ramy, niekoniecznie są w środku

przytrzymaj:

przytrzymaj:
 
zmienimy rozstaw kół, czyli odległość między środkami obrotów (punktami P0 i T0)

przytrzymaj:

przytrzymaj:
 
"koła" mają różne wielkości i kształty

przytrzymaj:

przytrzymaj:


ROZWIĄZANIA:
Rozwiązanie dla znających liczby zespolone

Rozwiązanie dla znających tożsamości trygonometryczne

Rozwiązanie dla znających twierdzenie Talesa

Powrót na górę strony