Matematyka Olimpijska

Data ostatniej modyfikacji:
2015-12-25
Autor recenzji: 
Małgorzata Mikołajczyk
pracownik IM UWr
Autor: 

Adam Neugebauer - pracownik Instytutu Matematyki Uniwersytetu Szczecińskiego
Beata Bogdańska - nauczycielka w XIII LO w Szczecinie

Wydawca: 

Volumina.pl Daniel Krzanowski
ul. Księcia Witolda 7-9, 71-063 Szczecin
tel. 91 812 09 08
e-mail: druk@volumina.pl
http://www.voluminamarket.pl

Dystrybutorzy: 

Salonik matematyczny "Od smyka do matematyka"
ul. Racławicka 11/1B (wejście od podwórza)
53-149 Wrocław
tel. 71 361 27 41
https://matmaigry.pl/
czynne: poniedziałek–piątek, godz. 9:00–18:00

 

Na serię "kolorowe skrypty" składają się cztery podręczniki (a raczej właśnie skrypty, zważywszy lapidarny i skrótowy charakter przedstawienia materiału): Algebra i teoria liczb, Planimetria, Kombinatoryka oraz Równania i nierówności. Stanowią one systematyczny wykład danego działu matematyki, tzn. zawierają niezbędne definicje, oznaczenia, twierdzenia z dowodami, zadania opatrzone rozwiązaniami oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Początkowe rozdziały pokrywają wiedzę potrzebną do przystąpienia do Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów, jednak w dalszej części opisywany materiał daleko wykracza poza program nauczania szkolnego w liceum. Zawartość poszczególnych tomów inspirowana jest głównie zadaniami z olimpiad matematycznych - krajowych i międzynarodowych. Książki przeznaczone są głównie dla nauczycieli pracujących z olimpijczykami oraz dla uczniów, którzy chcieliby samodzielnie poszerzać wiedzę i przygotować się do olimpiady matematycznej.

 

Algebra i teoria liczb

Całościowo ujmuje zagadnienia teorioliczbowe od liczb naturalnych po krzywe eliptyczne (dające narzędzie do dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata). Tomik zawiera też chronologiczne zestawienie nazwisk, tablicę liczb pierwszych do 2011 i ich pierwiastków pierwotnych, indeks nazw oraz bibliografię odsyłającą do pozycji popularnonaukowych, podręczników akademickich i zbiorów zadań. Wiadomości i zadania zebrane są w
12 działach, a z początkowymi z nich (np. działaniami modulo) powinni zapoznać się także gimnazjaliści planujący udział w OMG.

  • Pojęcia podstawowe - to przypomnienie najważniejszych wiadomości dotyczących liczb naturalnych i zespolonych, operacji arytmetycznych, zasady indukcji matematycznej i podstawowych struktor algebraicznych (grupa i pierścień, ciało).
  • Elementarz - dalszy ciąg zebrania podstawowych faktów arytmetycznych - teoria podzielności, własności NWD i NWW, dzielenie z resztą, algorytm Euklidesa, równanie ax+by=n, twierdzenie Frobeniusa, rozkład na czynniki pierwsze, wykładniki p-adyczne, zasadnicze twierdzenie arytmetyki, trójki pitagorejskie.
  • Wielomiany - zebrana tu została podstawowa szkolna wiedza (m.in. o równaniach kwadratowych, o pierwiatkach wymiernych, twierdzenie Bezouta i Lagrange'a) oraz wiedza przydatna na poziomie olimpijskim (m.in. zasadnicze twierdzenie algebry, pierwiatki równań sześciennych, wielomiany cyklotomiczne i palindromiczne), a także przedstawiona została teoria podzielności w pierścieniu wielomianów.
  • Funkcje arytmetyczne - przedstawiono tu własnosci finkcji związanych z dzielnikami (tau i sigma) oraz funkcji Eulera i splotu Dirichleta.
  • Arytmetyka modulo - to zwięzły wykład teorii kongruencji z jej podstawowymi twierdzeniami (Eulera, Fermata, Wilsona, chińskie o resztach) i technikami (pierścienie reszt modulo, twierdzenie Lagrange'a o rzedzie grupy,  pierwiastki pierwotne, liczby p-adyczne). Ponadto znajdziemy tu twierdzenia o liczbach pierwszych w ciągach arytmetycznych oraz resztach kwadratowych i prawie wzajemności.
  • Dodatkowe wiadomości o wielomianach - ten rozdział poszerza wiadomości o zagadnienie pochodnej wielomianu, liczby algebraiczne i przestępne, aproksymacje Taylora, Maclaurina i Lagrange'a oraz kombinatoryczne twierdzenie o zerach.
  • Aproksymacje diofantyczne - w tym rozdziale poznajemy twierdzenie Dirichleta, ułamki Farey'a i ułamki łańcuchowe i charakterystykę ich wymierności.
  • Sumy kwadratów - oprócz zagadnień dotyczących sumy dwóch kwadratów poznajemy w tym rozdziale teorię form kwadratowych oraz zastosowania metod arytmetyki do rozwiązywania zagadnień geometrycznych.
  • Ciągi rekurencyjne - badane przykłady to ciągi Fibonacciego i Lucasa oraz rekurencyjne modulo, wprowadzona jest metoda rozwikływania rekurencji przez funkcje tworzące, oraz nacierzowy zapis przekształceń liniowych i zastosowania rekurencji w zagadnieniach geometrycznych.
  • Pierścienie kwadratowe - poznajemy liczby całkowite Gaussa i teorie podzielności i rozkładu na czynniki w pierścieniach kwadratowych.
  • Równania diofantyczne -w tym rozdziale wprowadzone są podstawowe metody rozwiązywania równań diofantycznych, a następnie rozważane są takie przykłady równań jak Ramanujana i indyjskie, formułowane jest Wielkie Twierdzenie Fermata i wyjaśniane są nieudane próby jego dowodu oraz omawiana jest teoria krzywych sześciennych, która przybliża ideę poprawnego dowodu. 
  • Wiadomości dodatkowe - znajdziemy tu ciekawe informacje, twierdzenia i zadania o części całkowitej i ułamkowej liczby rzeczywistej, zapisie pozycyjnym liczb naturalnych i rzeczywistych, rozwinięciach liczb na sumy ułamków egipskich, liczbach harmonicznych, współczynnikach rozwinięcia dwumianowego i własnościach symbolu Newtona, rozmieszczeniu liczb pierwszych na osi i innych własnościach liczb pierwszych.

 

Planimetria

Prezentuje podstawowe pojęcia i metody geometrii elementarnej. Zawiera 115 udowodnionych twierdzeń, 60 szczegółowo rozwiązanych zadań i 400 ćwiczeń do samodzielnej pracy. Ponadto tomik zawiera chronologiczne zestawienie nazwisk, alfabet
grecki, indeks nazw oraz bibliografię odsyłającą głównie do uzupełnienia
lektury oraz dalszych zbiorów zadań. Wiadomości i zadania zebrane są w 5 działach.

  • Planimetria pretalesowska zawiera podstawowe definicje i aksjomaty oraz ćwiczenia z wnioskowania dedukcyjnego. Następnie wprowadzone są pojęcia z zakresu szkolnej matematyki: różne typy kątów, kąty związane z okręgiem, cechy przystawania trójkątów, własności czworokątów, szczególne punkty trójkąta, konstrukcje wielokąta wpisanego w okrąg i opisanego na okręgu, trójkąty ortyczne i czworokąty cykliczne, pola wielokątów, zasadnicze twierdzenie planimetrii i twierdzenie Pitagorasa. Wśród zagadnień niewystępujących w programie nauczania szkolnego pojawiają się: prosta Wallace'a-Simsona i twierdzenie Miquela. W opracowaniu jest druga część skryptu z zakresu geometrii dotycząca nierówności geometrycznych, kombinatoryki geometrycznej, zastosowania liczb zespolonych w geometrii płaszczyzny oraz stereometria.
  • Twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów zawiera rozmaite zastosowania tych pojęć w geometrii, a także twierdzenia: Ptolemeusza o czworokącie wypukłym, Carnota, Ponceleta, Morleya o trójsiecznych, Hamiltona i pojęcia takie jak: potęga punktu względem okręgu, oś  potęgowa, potęgowe kryterium współokręgowości, okrąg Apoloniusza, okręgi ortogonalne, dwustosunek, czwórka harmoniczna, prosta Eulera, okrąg dziewięciu punktów oraz ich zastosowania. W tym rozdziale znajdujemy tez elementy trygonometrii jak np. twierdzenie sinusów i kosinusów, podstawowe tożsamości trygonometryczne, wzór Herona, a także twierdzenie Stewarta, wzór Brahmagupty i twierdzenie Urquharta, punkt i kąt Crelle'a-Brocarda, twierdzenie o siedmiu okręgach i ich zastosowania.
  • Współliniowość i współpękowość, w którym podstawowymi narzędziami są: jednokładność, inwersja względem okręgu, odpowiedniość biegunowa względem okręgu i współrzędne barycentryczne. Poznajemy twierdzenia geometrii rzutowej Menelaosa, Gaussa, Desarquesa, Pascala, Pappusa i Brianchona. Rozwiązujemy słynne zadania Napoleona, Fermata, dowodzimy twierdzenia Cevy, poznajemy pojęcie symediany i stosujemy je w różnych sytuacjach geometrycznych. W zastosowaniach statyki do geometrii poznajemy pojęcia środka masy, momentu bezwładności i współrzędnych barycentrycznych, za pomocą jednokładności dowodzimy twierdzenia Feuerbacha i rozwiązujemy zadanie Apoloniusza o okręgu stycznym do trzech danych okręgów.
  • Przekształcenia geometryczne, w którym poznajemy izometrie płaszczyzny i ich własności grupowe, dokonujemy klasyfikacji izometrii i wykorzystujemy je w zadaniach konstrukcyjnych. Podobnie postępujemy z podobieństwami płaszczyzny, a następnie poznajemy przekształcenia afiniczne i rzutowe.
  • Stożkowe, w którym własności metryczne, geometryczne i optyczne elipsy, paraboli i hiperboli poznajemy w ujęciu syntetycznym, analitycznym i rzutowym.

 

Kombinatoryka

Prezentuje podstawowe pojęcia i metody z zakresu teorii mnogości i matematyki dyskretnej. Trzeba przyznać, że niemal cała zawartość skryptu (poza pojęciami i metodami całkowicie elementarnymi) wykracza poza zakres programu nauczania szkolnego. Tematyka ta była jednak inspirowana zadaniami z narodowych i międzynarodowych olimpiad matematycznych. Pokazuje to, jak mocno nasze programy nauczania odstają w tym względzie od standardów światowych. Szczególnie ciekawe, a rzadko spotykane w szkole są zadania o rozstrzyganiu niepustości zbiorów za pomocą dowodów egzystencjalnych lub dowodów nie wprost. Tomik zawiera też chronologiczne zestawienie nazwisk, indeks nazw oraz krótką bibliografię odsyłającą głównie do uzupełnienia i pogłębienia wiedzy oraz dalszych zbiorów zadań. Wiadomości i zadania zebrane są w pięciu działach.

  • Zbiory, funkcje, moc, porządki - tu znajdziemy szkolne wiadomości o działaniach na zbiorach i funkcjach, typach funkcji i charakterystycznych dla nich pojęciach, mocach zbiorów, równoliczności i przeliczalności, w szczególności znajdziemy tu dowód twierdzenia Cantora o nieprzeliczalności liczb rzeczywistych. Dalej możemy powtórzyć wiadomości szkolne o symbolu dwumiennym Newtona, poszerzając je o własności symboli wielomiennych. Ostatnia część dotyczy różnych typów relacji (równoważności, porządku pełnego i częściowego), pojęć takich jak przedziały, łańcuchy i antyłańcuchy, twierdzeń Dilwortha, Spernera, Tarskiego oraz pewnika wyboru. Rozwiązane jest tu zadanie o kolorowych czapeczkach więźniów.
  • Podstawowe zasady - należą do nich zasada szufladkowa Dirichleta w rożnych wariantach i jej zastosowania w arytmetyce, algebrze, geometrii i zadaniach szachowych, zasada włączeń i wyłączeń dla zbiorów skończonych i mierzalnych, zasada łat na kapocie i jej zastosowania w dowodach twierdzeń Birkhoffa i Minkowskiego.
  • Grafy - to wielki nieobecny polskiego programu nauczania od zawsze (co dziwi w dobie rozwoju metod dyskretnych i numerycznych). Tu znajdziemy opis i własności grafów prostych, podstawowe typy grafów, terminy i własności, twierdzenia o kolorowaniu, o spłaszczalności grafów o kolorowaniu map oraz elementy teorii Ramseya o kolorowaniu kostek i szukaniu w nich monochromatycznych klik.
  • Jeszcze parę pytań i odpowiedzi - opisywane tu zagadnienia dotyczą liczb Catalana, dwumianu Newtona i szeregów potęgowych, ciągów rekurencyjnych i funkcji tworzących, problemów podziałów liczb, rozbić zbiorów i własności liczb Stirlinga, permutacji i ich rozkładaniu na cykle, twierdzenia Halla o kojarzeniu małżeństw oraz ich zastosowań w zadaniach. 
  • Niezmienniki i gry - pojawiają się tutaj układy pseudodynamiczne, ich niezmienniki i półniezmienniki, gry jednoosobowe, dwuosobowe i strategie wygrywające, opisano gry typu Nim i twierdzenie Richardsona.

 

Równania i nierówności

 

Powrót na górę strony