Matematyka nauką przyjemną

W tym artykule chcemy przybliżyć całą tetralogię Waltera Sawyera, dziś nieco zapomnianą, ale w latach 70. XX wieku należącą do kanonu lektur każdego nauczyciela matematyki. Jej autor ukończył Uniwersytet w Cambridge, specjalizując się w teorii kwantów i teorii względności. Podczas długoletniej pracy na różnych uczelniach dał się poznać jako wykładowca, który o najbardziej zawiłych i skomplikowanych aspektach matematyki potrafi mówić w sposób jasny i zrozumiały także dla laików. W latach 1957-1958 pracował w USA jako ekspert dydaktyki matematyki w związku z przygotowywaną w tym kraju reformą nauczania zwaną "New Math" (nowa matematyka). Pokłosiem tej wieloletniej pracy są prezentowane książki.

W skład cyklu wchodzą cztery tomiki:

• Myślenie obrazowe w matematyce elementarnej
• Matematyka nauką przyjemną
• Droga do matematyki współczesnej
• W poszukiwaniu modelu matematycznego.

Myślenie obrazowe w matematyce elementarnej

To książka o pokonywaniu bariery poznawczej pomiędzy konkretem a abstrakcją w rozwoju psychologicznym dziecka i o tym, jak można mu pomóc tę barierę pokonać. Jest adresowana głównie do nauczycieli i rodziców, którzy chcieliby pomóc dzieciom w nauce szkolnej matematyki. Znajdą w niej wiele ciekawych przykładów zadań oraz pomysłów, jak się z tymi zadaniami mierzyć. Książka jest napisana prostym językiem bez przesadnej terminologii dydaktycznej. Dotyczy w głównej mierze nauczania podstaw algebry dzieci w szkole podstawowej. Jak sugeruje tytuł, w tym procesie wykorzystuje się elementy wizualne do wprowadzenia i objaśnienia wielu abstrakcyjnych pojęć i zagadnień matematycznych. I tak np. działania wykonywane na konkretnych liczbach są podstawą do uogólnień w postaci rachunków na wyrażeniach algebraicznych, a te z kolei działania są dodatkowo zilustrowane graficznie w różnych aspektach ich stosowania.

Pomysły dydaktyczne zawarte w książce mogą być z powodzeniem wykorzystane podczas niejednej lekcji matematyki, gdyż zakres tematyczny książki obejmuje zagadnienia, z którymi uczniowie tradycyjnie miewają trudności w szkole, m.in:

• cztery podstawowe działania arytmetyczne,
• wprowadzanie liczb ujemnych i ułamków,
• rozwiązywanie równań,
• wykresy.

Szczególnie ciekawe jest podejście autora do problemu układania równań. Początkowo informacje zawarte w treści zadania są obrazowane na wiele sposobów ilustracjami, a dopiero potem, gdy relacje między występującymi w nich wielkościami są już dobrze zrozumiane, przechodzi się do opisu algebraicznego.

Oprócz wskazówek, jak dane zagadnienie można łatwo wytłumaczyć, ważne jest dla nauczycieli, jakie są  typowe błędy dotyczące tego zagadnienia popełniane przez uczniów, z czego one wynikają, jak na nie reagować oraz jak im przeciwdziałać. Te wszystkie informacje również można znaleźć w książce Sawyera, co może bardzo ułatwić pracę zwłaszcza młodym i niedoświadczonym nauczycielom.

Autor zaleca także wprowadzanie nowych zagadnień od strony intuicyjnej i praktycznej, bez zbędnego wstępu teoretycznego. Jest to dla ucznia znacznie ciekawsze podejście i pozwala lepiej zrozumieć omawiane pojęcie niż jego formalna definicja, którą często trudno zrozumieć, więc trzeba ją po prostu zapamiętać. Dopiero po nabyciu doświadczenia w operacyjnym rozumieniu nowego pojęcia i wprawy w posługiwaniu się nim, przychodzi czas na uporządkowanie wiedzy teoretycznej i włączenia w jej system nowo poznanego pojęcia.

Niestety lektura książki wymaga wiele uwagi od czytelnika, gdyż jest w niej dużo błędów drukarskich.

Matematyka nauką przyjemną

Głównym zamysłem książki jest rozwianie powszechnie panującego lęku przed matematyką. Wydaje się, że to zjawisko ponadczasowe, bo książka napisana była w 1943 roku. Jednak nawet dziś (a może zwłaszcza dziś) wielu ludzi uważa, że osoby dobrze rozumiejące matematykę posiadają jakieś nadprzyrodzone moce. Autor obala ten mit i dowodzi, że pewien standardowy poziom wiedzy i umiejętności  matematycznych jest dostępny każdemu śmiertelnikowi.

Język, jakim napisana jest ta książka, odbiega może nieco od tego, do czego jesteśmy przyzwyczajeni obecnie, ale trzeba podkreślić, że jej styl jest żywy i zabawny. To książka, która doskonale przetrwała próbę czasu.

Tematyka książki jest bardzo szeroka. Dotyczy zarówno zagadnień elementarnych, ale i takich, które już jakiś czas temu wypadły z programu nauczania szkolnego (choć przez dziesięciolecia należały do kanonu umiejętności maturzysty). Są wśród nich m.in.:

• tabliczka mnożenia,
• logarytmy,
• funkcje trygonometryczne,
• rachunek różniczkowy i całkowy,
• liczby zespolone.

Ale nie jest to typowy podręcznik do matematyki. Raczej samouczek i poradnik, jak można uczyć jej w sposób przystępny i niekonwencjonalny. Autor dokładnie opisuje wprowadzane zagadnienie lub przedstawia różne aspekty rozwiązywanego problemu. Prowadzi przy tym proste rozumowania lub analizę zjawisk z codziennego życia. Poznawanie nowego pojęcia nigdy nie zaczyna się od definicji. Ta wprowadzana jest na końcu, w celu uporządkowania zdobytej i przyswojonej już wiedzy.

Duży nacisk kładzie Sawyer na zrozumienie logarytmów i funkcji trygonometrycznych. Wyjaśnia, z jakich potrzeb praktycznych pojawiły się w matematyce i do czego są stosowane obecnie. Dawniej (w czasach, które dziś trudno sobie młodym ludziom nawet wyobrazić, choć wcale nie są tak odległe), kiedy nie było komputerów,  inżynierowie wykonywali skomplikowane i precyzyjne obliczenia za pomocą suwaków logarytmicznych. Mnożenie, dzielenie i bardziej zawiłe działania sprowadzały się na nich do zwykłego dodawania i odejmowania. Dziś logarytmy wykorzystuje się do modelowania i rozwiązywania wielu problemów praktycznych, ale skomplikowane obliczenia przejęły komputery. Podobnie było z trygonometrią, która jest przykładem na to, jak dzięki pracy całych pokoleń matematyków udało się ulepszyć rozwiązania problemów oparte początkowo na zdrowym rozsądku i doświadczeniu. Tak było zarówno w astronomii jak i w inżynierii kolejowej, w przypadku zagadnienia budowy tunelu kolejowego. Obliczenia trygonometryczne pozwoliły dokładnie opisać zarówno tory ruchów i rozmiary planet, jak również wyznaczyć właściwy kierunek drążenia tunelu w skale, aby jego wylot znajdował się w określonym miejscu.

Książkę czyta się przyjemnie i bez zbytniego wysiłku, gdyż zagadnienia matematyczne (nawet te zaawansowane) omówione są w sposób zrozumiały dla kompletnego laika, co z jednej strony wskazuje na rzadki talent dydaktyczny autora, który mimo że sam posiada ogromną wiedzę, potrafi dostosować język i styl tłumaczenia do możliwości percepcyjnych odbiorcy, a z drugiej - niejednego czytelnika może zachęcić do zapoznania się z trudnymi dla niego pojęciami. Poza tym zawsze łatwiej jest przyswoić coś, o czym wiemy, że jest w życiu przydatne, niż suche fakty, których nie umiemy do niczego wykorzystać. To kwestia naszej wewnętrznej motywacji do nauki. To dlatego autor stara się tak często pokazywać przydatność danego fragmentu matematycznej wiedzy.

Książkę powinien przeczytać każdy nauczyciel matematyki, któremu zależy na zrozumieniu jej przez uczniów, a nie tylko na mechanicznym opanowaniu algorytmów. I to nie tylko powinien ją przeczytać, ale wykorzystywać pomysły w niej zawarte na swoich lekcjach.

Droga do matematyki współczesnej

W tej książce Sawyer pokazuje, jak w elementarny sposób można wytłumaczyć rozmaite zagadnienia z matematyki wyższej. Skupia się m.in. na przestrzeniach wektorowych, geometrii afinicznej, równaniach różniczkowych, przestrzeniach metrycznych, macierzach i odwzorowaniach. W uproszczonej (ale nie ponad miarę) formie prezentuje powyższe idee, sposoby ich wprowadzenia i wykorzystania, a także opisuje proces poszukiwania ogólnych wzorców, które pozwalają na formułowanie procedur pomocnych przy rozwiązywaniu nowych problemów w sposób analogiczny do rozwiązań problemów już znanych. Na licznych przykładach możemy przekonać się, jak do tradycyjnej matematyki wprowadzane są nowoczesne metody i jak duża jest ich przydatność, jak usprawniają one pracę matematyków i poszerzają ich możliwości poznania.

Matematyk, tworząc ogólne procedury, oszczędza czas i twórczą energię, ponieważ badając jeden abstrakcyjny model matematyczny, może wykorzystać wyniki w wielu z pozoru odmiennych sytuacjach i dyscyplinach wiedzy. Przykładem może być chociażby geometria analityczna. Ideę uporządkowanej pary punktów i przypisania jej konkretnego położenia na płaszczyźnie można łatwo uświadomić nawet małym dzieciom, interpretując punkt o współrzędnych powiedzmy (3, 2) jako zbiór trzech kotów i dwóch psów. Jeśli mamy dwa zbiory psów i kotów, zaznaczymy je w układzie współrzędnych jako dwa punkty A i B. Z ich położenia łatwo natychmiast odczytać, w którym zbiorze jest więcej kotów niż psów albo który z dwóch zbiorów liczy więcej kotów. Sumę psów i kotów w obu zbiorach reprezentują współrzędne punktu C będącego końcem przekątnej równoległoboku o obu bokach zaczepionych w punkcie (0, 0) i końcach w punktach A i B. Jeśli chcemy znaleźć środek odcinka OC, wystarczy stwierdzić, ile wynoszą połowy liczb psów i kotów w obu zbiorach. Analogicznie można podać współrzędne punktów leżących np. w ¹/₄ lub ⁵/₇ długości OC (inaczej mówiąc, gdzie należy stanąć w pierwszym kroku, aby długość odcinka OC pokonać w czterech krokach). Taki elementarny, obrazowy i przejrzysty sposób wyjaśnienia pozwala uczniom łatwiej zrozumieć i przyswoić abstrakcyjne wiadomości oraz łatwiej opanować metody.

W rozdziale "Uwagi o funkcjach" autor pokazuje, jak zmieniał się sposób myślenia o tym ważnym pojęciu matematycznym na przestrzeni lat. Dawniej uważano, że zapis y = f(x) oznacza, że zmienna y jest związana ze zmienną niezależną x jakimś prostym, danym w jawny sposób wzorem. Później przyjmowano, że funkcję mogą określać także nieskończone szeregi innych funkcji. W XVIII wieku stwierdzono, że nieskończone sumy funkcji sinus i kosinus (z odpowiednimi współczynnikami), czyli tzw. szeregi Fouriera mogą przybierać kształty zupełnie dowolnych wykresów. Takie spojrzenie na ewolucję różnych pojęć matematycznych pozwala nie tylko lepiej zrozumieć merytoryczny aspekt zagadnienia, ale także motywację jego powstania i zmieniające się sposoby jego wykorzystania, a w konsekwencji prowadzi do lepszego poznania danego tematu.

Po każdym rozdziale zamieszczone są ćwiczenia, które pozwalają na skontrolowanie, pogłębienie i rozwinięcie zdobytej wiedzy.

Mimo że książka dotyczy matematyki wyższej, powinien po nią sięgnąć każdy nauczyciel matematyki, aby wzbogacić swój warsztat pracy o wiele ciekawych pomysłów.

W poszukiwaniu modelu matematycznego

W książce przedstawione są kluczowe pojęcia matematyczne oraz opisany jest ich historyczny rozwój. Wśród omawianych zagadnień znajdują się m.in.:

• układ współrzędnych i wykresy funkcji - ich wprowadzenie i użyteczność do analizowania różnych problemów, zmiany związane z doborem skali na osiach,
• symbolika i notacja matematyczna - wykorzystanie do uogólniania problemu,
• dwumian Newtona - jego typowe i nietypowe zastosowania,
• przekształcenia geometryczne i odwzorowania figur oraz wykresów,
• wymierność i niewymierność liczb.

Autor przedstawia m.in ciekawe reguły mnemotechniczne, np. sposób na zapamiętanie znaczenia symboli <, >, =. Można je w naturalny sposób kojarzyć ze wzrostem. Jeżeli dwoje dzieci ma ten sam wzrost i stoją na równej podłodze, to zarówno ich stopy jak i czubki głów znajdują się na tych samych poziomach. Linie stóp i głów symbolizują dwie równoległe kreski. Pozostałe znaki można zapamiętać przez porównanie wzrostu mężczyzny i chłopca. Jeśli tato stoi na podłodze, a jego syn na krześle i mimo to chłopiec jest niższy, to linie łączące ich stopy i czubki głów układają się w znak mniejszości lub większości w zależności od tego, po której stronie taty stoi chłopiec. Tak zapamiętane symbole przestają straszyć i nie utrudniają prowadzenia rozumowań, pozwalając jednocześnie zapisywać je w krótki, przejrzysty i zrozumiały sposób.

W rozdziale dotyczącym równań kwadratowych autor prezentuje geometryczną metodę ich rozwiązywania (przez rozbijanie dużego kwadratu na sumę kwadratów i prostokątów), jakiej używali już w starożytności Grecy, a Arabowie przenieśli w średniowieczu na równania sześcienne. Wskazuje też ograniczenia, jakie ona za sobą niesie, np. pomijanie ujemnych pierwiastków równania (wszak stanowią one długość boku jakiegoś kwadratu lub sześcianu). Zatem korzystając z tego sposobu, należy zawsze sprawdzić, czy równanie nie ma drugiego pierwiastka. Poza tym w niektórych przypadkach rozwiązanie rysunkowe nie jest zbyt proste i nie stanowi wcale łatwego i przekonującego wszystkich sposobu. Spróbujcie sami zastosować tę metodę do rozwiązania równania x²-6x=40 i oceńcie, na ile jest pomocna. Czasem trzeba wrócić do rozważań algebraicznych, ale nie zmienia to faktu, że metoda geometryczna łatwiej przemawia do wielu uczniów.

Wszystkie przedstawione w książce problemy są zilustrowane licznymi przykładami z życia codziennego, dlatego mogą być zrozumiałe nawet dla matematycznych laików, których nadmiar wzorów i symboli w książkach skutecznie zniechęca do ich lektury. Tutaj nawet skomplikowane zagadnienia tłumaczone są w sposób elementarny, używając prostych słów i naturalnego języka, a symbolika stosowana jest z umiarem i tylko wtedy, gdy znacząco uprasza zrozumienie problemu. W indeksie na końcu książki zabrane są definicje wszystkich używanych w niej terminów i znaczenia symboli, dzięki czemu osoby nie będące na bieżąco z matematyczną terminologią mogą łatwo znaleźć potrzebne objaśnienia. Logiczne myślenie, kojarzenie faktów i kultura matematyczna nie zależą przecież od ilości zapamiętanych nazw i wzorów.