Przed konkursem matematycznym

Jest to I tom z serii Biblioteczka Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. II tom stanowi praca zbiorowa pod redakcją Waldemara Pompego pt. Matematyka. Poszukuję-odkrywam.

Trzeba mieć nadzieję, że następne pozycje z tej serii będą równie przydatne zarówno nauczycielom jak i uczniom zainteresowanym matematyką, którzy chcą poszerzyć swoją wiedzę i rozwinąć umiejętności rozwiązywania zadań odbiegających od szkolnych (tzn. podręcznikowych i egzaminacyjnych) standardów, a tym samym rozwinąć swoją sprawność i pomysłowość matematyczną.

W książce zebrano 128 zadań przygotowujących do konkursów matematycznych, które pogrupowano tematycznie. Dotyczą one:

• liczb parzystych i nieparzystych
• równań diofantycznych,
• kongruencji,
• części całkowitej i ułamkowej,
• kolorowania punktów płaszczyzny lub pól szachownicy,
• trójkąta równobocznego.

Każde z nich zostało opatrzone starannym szkicem rozwiązania, co bardzo ułatwia korzystanie ze zbioru. Poszczególne działy poprzedzają przydatne definicje i fakty lub garść informacji historycznych dotyczących danego tematu.

Oto kilka przykładowych zadań wybranych z tego zbioru.

rozdział "Parzyste-nieparzyste"

• Czy tablicę o wymiarach 5×5 można wypełnić szczelnie kostkami domina o wymiarach 1×2 tak, aby żadne dwie kostki nie nachodziły na siebie nawzajem?
• Piotr twierdzi, że istnieją cztery liczby naturalne, których suma i iloczyn są nieparzyste. Czy ma rację?
• Dany jest osiowosymetryczny wielokąt wypukły o 101 wierzchołkach. Wykazać, ze jego oś symetrii przechodzi przez jeden z wierzchołków.

rozdział "Równania diofantyczne"

• Czy istnieją trzy różne liczby pierwsze, których suma odwrotności jest naturalna?
• Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie 2^x+2^y=2^z. 
• Wykazać, ze równanie x³+y³=z² ma nieskończenie wiele pierwiastków w liczbach naturalnych.

rozdział "Kongruencje"

• Jaka jest cyfra jedności zapisu dziesiętnego liczby 53⁵³ - 33³³?
• Jaka jest reszta z dzielenia 77⁷⁷ przez 5?
• Wykazać, że wśród liczb postaci 10ⁿ+3 występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

rozdział "Część całkowita i ułamkowa liczby rzeczywistej"

• Rozwiązać równanie x² - [x] = 2.
• Wykazać, że (2+√3)²⁰⁰⁹ jest liczbą nieparzystą. 
• Naszkicować zbiór {(x, y): [x]+[y]=3}.

rozdział "Kolorowanki - numerowanki"

• Każdy punkt płaszczyzny został pomalowany jednym z dwóch kolorów i obu kolorów użyto. Czy zawsze znajdą się dwa punkty tego samego koloru odległe o 2008?
• Każdy punkt płaszczyzny został pomalowany jednym z dwóch kolorów. Czy zawsze istnieją trzy parami różne punkty jednego koloru, z których jeden jest środkiem odcinka, którego końcami są dwa pozostałe?
• Na szachownicy 8×8 ułożono 21 klocków o wymiarach 3×1 tak, że każdy klocek pokrywa całkowicie 3 pola. Które pole pozostało wolne?

rozdział "Trójkąt równoboczny"

• W trójkącie ABC punkt M jest środkiem boku AB, a kąt ACB ma 120°. Udowodnić, że CM ≥ √3/6 · AB.
• W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD i BE. Kąty CAD i CBE mają po 30°. Wykazać, że trójkąt ABC jest równoboczny.
• Wykazać, że w sześciokącie wypukłym równokątnym sumy długości boków wychodzących z przeciwległych wierzchołków są równe.

 rozdział "Matematyczny miks"

• Znaleźć najmniejszą liczę naturalną n taką, że n+1 dzieli się przez 200, a n-1 przez 9.
• Wykazać, że każdą dodatnią liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci sumy dziewięciu liczb, których zapis dziesiętny składa się wyłącznie z zer i siódemek.
• Na każdej ścianie sześcianu zapisano liczbę naturalną, a w każdym wierzchołku iloczyn liczb z przyległych do niego ścian. Suma liczb zapisanych w wierzchołkach wynosi 2009. Ile wynosi suma liczb zapisanych na ścianach sześcianu?