Trzy światy geometrii

Podtytuł książki "Przygody na płaszczyźnie sferze i półsferze" wyjaśnia, jakie trzy światy geometryczne mieli na myśli autorzy. Pracując metodą porównawczą, dużo łatwiej jest zrozumieć fundamenty zarówno geometrii euklidesowej jak i geometrii nieeuklidesowych. Czytelnicy, niezależnie od wieku, wykonując cierpliwie i wytrwale ciekawe ćwiczenia z książki, z pewnością zrozumieją i polubią geometrię, bo będą ją samodzielnie tworzyli.

To książka poruszająca bardzo ciekawy lecz nieobecny w nauczaniu szkolnym temat – geometrii nieeuklidesowych. O ile geometrię euklidesową omawia się na ogół bardzo dokładnie na lekcjach, o tyle o geometriach nieeuklidesowych uczniowie na ogół nie słyszą wcale, a przecież nie da się zrozumieć roli geometrii starożytnych we współczesnej matematyce bez choćby wzmianki o innych możliwych geometriach i ich modelach. Czyżby te treści wykraczały poza możliwości uczniów? Autorzy książki dowodzą, że tak nie jest.

Z geometriami nieeuklidesowymi można zaznajomić w równie prosty i przystępny sposób, jak z tradycyjną szkolną geometrią. Ponadto przy podejściu nieeuklidesowym kształtujemy wyobraźnię, kreatywne, elastyczne myślenie, uczymy niedowierzać intuicji oraz pogłębiamy rozumienie matematycznych pojęć.

Książka podzielona jest na dwanaście rozdziałów.

• Środki dydaktyczne – tu autorzy zachęcają do używania na lekcjach łatwo dostępnych pomocy dydaktycznych, takich jak owoce o kulistym kształcie, piłki czy bombki choinkowe. Prezentują też zestaw modeli i przyrządów projektu Sfera Lénárta. Są to przezroczyste półsfery, po których uczniowie mogą łatwo i wygodnie rysować, a potem usuwać te rysunki (co jest znacznie łatwiejsze niż w przypadku owoców lub piłek). Autorzy zachęcają też do wykorzystania gry komputerowej Tic-Tac-Toe (kółko i krzyżyk na sferze), Spheroku (sudoku na sferze) lub programu komputerowego Spherical Easel (tzn. sferyczne sztalugi), które kształtują rozumienie własności sfery i umieszczonych na niej obiektów.
• Z historii geometrii euklidesowej i nieeuklidesowej – to rozdział dla pasjonatów historii i wszystkich, którzy chcieliby się dowiedzieć, dlaczego w matematyce pojawiły się nowe geometrie. Wiele uwagi poświęcono wybitnym matematykom, którzy przyczynili się do rozwoju geometrii od czasów starożytnych po współczesne. Są wśród nich Euklides, Eratostenes, Saccheri, Euler, Lambert i wielu innych.
• Rysowanie na sferze – w tym rozdziale autorzy opisują, jak za pomocą specjalnych przyrządów do rysowania na sferze (sferycznej linijki, cyrkla i kątomierza) tworzyć na powierzchni kuli ciekawe figury i jak badać ich własności.
• Podstawy geometrii na sferze – uczniowie stają tu przed zadaniem samodzielnego badania własności figur geometrycznych na sferze i porównanie ich z analogicznymi własnościami na płaszczyźnie.
• Wielokąty – rozdział ten poszerza wiedzę zdobytą podczas wykonywania ćwiczeń z rozdziału poprzedniego. Teraz badania są bardziej ukierunkowane i szczegółowe, np. sprawdzanie możliwości opisywania okręgów na trójkątach sferycznych.
• Pola figur na sferze – tym razem uczniowie stają przed problemem wyznaczania pola kół i trójkątów na płaszczyźnie i na sferze.
• Dodatkowe własności wielokątów – rozdział ten traktuje o bardziej zaawansowanych konstrukcjach związanych z równaniami i nierównościami liniowymi.
• Geometria hiperboliczna na półsferze – to wstęp do trzeciego świata geometrii. Akcja rozgrywa się w modelu na półsferze bez brzegu (model Poincarѐgo). Tutaj panują inne prawa, które można zaobserwować w sposób przystępny i intuicyjny.
• Modelowanie ze źródłem światła – w tym rozdziale dowiadujemy się, jak powstają mapy. W tym celu trzeba zrzutować powierzchnię kuli na płaszczyznę. Tylko jak to zrobić, aby jak najmniej zdeformować na mapie przestrzenną rzeczywistość? Opisany jest tu także ciekawy model geometrii hiperbolicznej Cayleya-Kleina.
• Trygonometria sferyczna – poznajemy własności funkcji trygonometrycznymi na sferze i badamy tezę twierdzenia Pitagorasa, która w wersji klasycznej na sferze okazuje się być nieprawdziwa, ale daje się przeformułować do wersji prawdziwej.
• Sfera jako model kuli ziemskiej – tu wykorzystujemy geometrię sferyczną w praktyce do zagadnień z zakresu geografii i nawigacji.
• Eksperymenty sferyczne związane z fizyką – w tym rozdziale można się przekonać, jak proste eksperymenty prowadzą do bardzo trudnych pytań. Poznajemy m.in. związki geometrii sferycznej z mechaniką Newtona.

Każdy rozdział podzielony jest na następujące paragrafy, które ułatwiają pracę uczniów podczas zajęć:

• Problem
• Skonstruuj na płaszczyźnie
• Zbadaj
• Jak myślisz?
• Skonstruuj na sferze
• Porównaj
• Dowiedz się więcej.

Dodatkowym atutem książki jest fakt, że między rozdziałami można poruszać się swobodnie i tylko niektóre z nich są ściśle powiązane ze sobą nawzajem. Dlatego każdy czytelnik może znaleźć problem, który najbardziej go interesuje i zapoznać się z nim bez konieczności przedzierania się przez wcześniejsze rozdziały. Książka opatrzona jest czarno-białymi ilustracjami, które ułatwiają zrozumienie istoty wykonywanych ćwiczenia lub pokazują ich efekt finalny.

To bardzo dobra pozycja dla nauczycieli, chcących poprowadzić ciekawe i niestandardowe zajęcia na kółku lub obozie matematycznym, oraz dla uczniów pasjonujących się matematyką i chcących ją poznawać samodzielnie, wykraczając poza standardową wiedzą szkolną. Dzięki przejrzystym opisom każdy może zmierzyć się z postawionymi w książce problemami samodzielnie.