Tajemnice islamskich ornamentów

Sztuka ornamentu kryje w sobie najstarszą część matematyki wyższej.
Herman Weyl

Matematyka ornamentu jest dostępna każdemu, kto posiada niewielkie choćby przygotowanie w zakresie geometrii. Jej studiowanie może dać wiele radości i satysfakcji gdy odkryjemy, jak z kilku pozornie bezładnie wykreślonych okręgów zaczyna wyłaniać się symetryczna gwiazda. Na bardziej zaawansowanym poziomie można z kolei zgłębiać tajniki dwuwymiarowych grup symetrii tapet albo jednowymiarowych szlaków (tzw. grup fryzowych). W poniższym artykule ograniczamy się do analizy jednego charakterystycznego ornamentu arabskiego, aby dać wyobrażenie o tym, jak można wzbogacić i urozmaicić szkolne zajęcia z konstrukcji geometrycznych.

Wszystkie zdjęcia wykorzystane w tekście pochodzą z archiwum rodzinnego autorki.

Spójrzmy na zdjęcie wykonane w jednej ze szkół koranicznych w Maroku. Przedstawia ono typowy ornament islamski z pasmowym zdobieniem kaligrafią arabską (to wersety Koranu). Jest to tylko pojedynczy motyw, fragment większej całości.

Wyobraźmy sobie teraz długie powierzchnie ścian udekorowane wzorami nie mającymi początku ani końca, o charakterystycznej regularności. Dla nas - ludzi żyjących w XXI wieku i zakorzenionych w chrześcijańskiej kulturze europejskiej - nie mają one prawdopodobnie głębszego znaczenia poza dostarczaniem wrażeń estetycznych wynikających z piękna geometrycznych form. Budzą tęsknotę za harmonią i spokojem, skłaniają do rozmyślań nad pięknem, nieskończonością i ludzką perfekcją. Jednak dla wyznawców islamu niosą one o wiele więcej treści i znaczeń. To szczególny sposób wyrażenia podziwu dla bożej doskonałości. Symbolizuje nieskończoną naturę Boga - człowiek w swoim życiu może najwyżej nieudolnie kopiować jego dzieła, ale nie są mu dostępne początek jak i koniec wszystkiego. Zapełnianie dużych powierzchni powtarzającymi się wzorami oddaje też efekt wszechobecności Boga i zachęca do kontemplacji.

Sztuka religijna islamu, zgodnie z zasadami Koranu, nie przedstawia postaci ludzi i zwierząt. Z tego powodu jej wytwory - budowle, detale architektoniczne czy przedmioty użytkowe - są zdobione ornamentami roślinnymi, kaligraficznymi lub geometrycznymi. Elementy tej wyjątkowo dekoratywnej sztuki znajdziemy dziś między innymi na obszarze Iranu, Iraku, Afganistanu, Uzbekistanu, Syrii, Turcji, Izraela, Egiptu, Maroka, a także na południu Hiszpanii. Szczególnym bogactwem form i kolorów charakteryzuje się styl mauretański powstały w basenie morza Śródziemnego (w północnej Afryce i południowej Hiszpanii - na terenach podbitych i okupowanych przez Arabów w wiekach VII - XIII). Niezapomnianych wrażeń dostarczają spacery po dziedzińcach i komnatach pałacu Alhambra w Granadzie, meczetu w Kordobie lub Alkazaru w Sewilli - to najpiękniejsze w Europie przykłady architektury muzułmańskiej zdobione ornamentami o niewyczerpanej różnorodności. Projektanci islamscy byli bowiem mistrzami wzorów naprzemiennych. Ich kunszt polegał między innymi na tym, że mimo systematyczności powtórzeń, potrafili unikać monotonii. Bogactwo i różnorodność form są często wynikiem wpływów i zapożyczeń kulturowych, swoistego szacunku Arabów dla ludności podbitych terenów, jej kultury i dorobku.

Nie potrzeba szczególnej wiedzy ani wyobraźni, aby stwierdzić, że arabskie wzory musiały powstawać na bazie złożonych obliczeń i konstrukcji geometrycznych. Nie można było ich opracować bez znajomości algebry i geometrii.

Popatrzmy jeszcze na kilka zdjęć ornamentów z terenu Maroka i południowej Hiszpanii.

Gdy przyglądamy się z daleka, w oczy rzucają się nam linie główne, ale podchodząc bliżej, dostrzegamy coraz więcej detali. Wszystko w doskonałej harmonii formy, w charakterystycznym rytmie. Wiele znaczeń ukrytych w tych ornamentach możemy odczytać, posiadając klucz, jakim jest matematyka. Zobaczmy zatem, jak pomogła ona islamskim artystom wyrazić niematerialne, duchowe wartości.

Jeśli spróbujecie skopiować któryś z muzułmańskich ornamentów od razu zobaczycie, z jakimi trudnościami zmagali się artyści przed wielu stuleciami podczas tworzenia swoich dzieł. Przyglądając się dokładniej wybranej mozaice wyłaniamy jej zasadniczy, powtarzający się motyw. Nasuwa to myśl o pracy glazurnika, który wykłada ścianę kilkoma rodzajami płytek. Ich zaprojektowanie wymaga jednak praktycznej znajomości geometrii euklidesowej i konstrukcji wykonywanych cyrklem i linijką.

Dziś te podstawowe przyrządy imitują programy komputerowe, takie jak Cabri, C.a.R, GeoGebra lub Geometer’s Sketchpad . Dzięki nim łatwiej przejdziemy drogę, którą musieli przed wiekami pokonać twórcy tych przepięknych ornamentów. Okazuje się, że analiza ich dzieł może być doskonałą lekcją matematyki. Skupmy się na pojedynczym ornamencie ze zdjęcia przedstawiającego sufit jednej ze szkół koranicznych (tzw. medras) w Marakeszu. Spróbujemy narysować jej wewnętrzny ornament.

Bez trudu wyróżnimy powtórzoną trzykrotnie charakterystyczną ośmioramienną gwiazdę islamską. Będzie ona stanowiła zasadniczy motyw zwany kaflem. Jak ją skonstruować?

Krok 1. Zaczynamy od kwadratu z wpisanym weń okręgiem. Następnie łączymy odcinkami przeciwległe wierzchołki kwadratu, środki przeciwległych boków oraz prowadzimy dwusieczne otrzymanych miedzy tymi liniami kątów. Efekt przedstawia poniższy rysunek.

Krok 2. Rysujemy odcinki łączące wybrane punkty przecięcia okręgu z poprowadzonymi prostymi jak na ponizszym rysunku. Zaznaczamy punkt A.

Krok 3. Prowadzimy prostą prostopadłą do boku kwadratu przechodzącą przez A. Odbijamy ją symetrycznie wzglądem pionowej osi symetrii kwadratu. Obie uzyskane proste obracamy o 22.5° względem środka okręgu. Zaznaczamy punkty B, C i D.

Krok 4. Pojawia się jeszcze więcej linii i punktów. Przeanalizuj poniższy rysunek.

Krok 5. Po połączeniu wyróżnionych punktów z plątaniny linii zaczyna się wyłaniać szukany wzór.

Krok 6. Możemy już zacząć rysowanie gwiazdy, stosując odpowiednie odbicia symetryczne i obroty wokół środka okręgu. Wymazujemy też wszystkie zbędne elementy.

Krok 7. Podstawowy kafel jest gotowy. Teraz pozostaje już tylko pokolorowac go i elegancko ułożyć wiele razy na płaszczyźnie. Kolorystyka i grubość linii nie jest bez znaczenia dla końcowego efektu.

Rysunki w tym tekście wykonano za pomocą programu Geometr’s Sketchpad 5.0, ale można je uzyskać takze w dowolnym innym programie do nauki konstrukcji geometrycznych.

Spróbujcie samodzielnie uzyskać każdy z poniższych islamskich ornamentów. Życzymy miłej zabawy.

Bibliografia:

• Eric Broug, Islamic geometric patterns, Thames & Hudson, 2008. 
• http://www.broug.com