Wierszowana matematyka

Matematyka i poezja często idą w parze. Wybitny niemiecki matematyk David Hilbert (1862-1943) pytany o jednego z byłych uczniów odpowiadał: Ach, ten, został poetą. Na matematyka miał zbyt mało wyobraźni. W dawnych czasach uczeni hinduscy dla ułatwienia opanowania wiedzy pisali traktaty matematyczne wierszem. Dziś postępujemy podobnie, chcąc zapamiętać mnemotechnicznie trudne regułki, np. znaki funkcji trygonometrycznych różnych kątów:

W pierwszej ćwiartce same plusy.
W drugiej tylko sinus.
W trzeciej tangens i kotangens.
A w czwartej kosinus.

Więcej przykładów mnemotechnicznych rymowanek znajdziesz tutaj.

Od najdawniejszych czasów autorzy podręczników do matematyki zamieszczali w nich wierszowane zadania. Miały zapewne uprzyjemnić lekturę i zachęcić do podjęcia trudu ich rozwiązania. Spróbuj i ty!

Zadania 1-8 mogą rozwiązywać wszyscy, zadanie 9 wymaga wiedzy gimnazjalnej.
Tam gdzie było to możliwe do ustalenia, podajemy czas powstania zadania i źródło, z którego pochodzi.

Zadanie 1 (NN, VII wiek)

Wśród gier miłosnych naszyjnik furka.
Rozsypały się perły ze sznurka.
Aż na ten widok dziewczyna zbladła.
Część szósta na ziemię upadła,
Część piąta luzem na łożu została,
Część trzecią panna schronić zdołała,
Dziesiątą część chwycił chłopiec ukochany.
Sześć zostało pereł na sznur nanizanych.
A teraz mi powiedz drogi czytelniku,
Ile było pereł w panny naszyjniku?

Zadanie 2 (Bhaskara, Lilavati, XII wiek)

Bawiły się raz małpy - wieść indyjska niesie.
Ósma część ich w kwadracie już skacze po lesie.
Pozostałych dwanaście w pląsach i z wrzaskami
Pomiędzy zielonymi hasa pagórkami.
Ile ich wszystkich było? - zapyta  Bhaskara.
Zagadka nie jest trudna, chociaż bardzo stara.

Zadanie 3 (Leonardo Fibonacci, Liber Abaci, XIII wiek)

Gdy raz do St Ives jechałem
Człeka z siedmioma żonami spotkałem.
Każda żona siedem toreb miała.
Każda torba siedem kotek zawierała.
Każda kotka siedem kociąt karmiła.
Kocięta, kotki, torby, każda żona miła.
A teraz odpowiedz czytelniku w mig,
Ile dotarło nas do St Ives?

Zadanie 4  (NN)

Na jarmark pod Kraków szła niewiast gromadka.
Niewiast było osiem, ani jednej więcej.
Każda z niewiast niosła osiem koszy w ręce.
Niepuste były owych niewiast kosze.
W każdym z nich było po osiem kokoszek.
Pod każdą kokoszką osiem jaj leżało.
A pod każdym jajkiem osiem piórek drżało.
Ile razem było, powiedzcie mi proszę,
Niewiast, piór i jajek, koszy i kokoszek.

Zadanie 5 (Krzysztof Schedel, Arithmetyka, XVII wiek)

Chłop jeden ma sad pewny, w którym sobie kładzie,
Że ma on 112 drzewek w swoim sadzie.
Jabłoni w nim 12. Gałęzie rachuje.
Na każdej gałęzi tak wiele znajduje,
Jak 99 jabłek. A tych w korzec wchodzi
849. Zgaduj co przychodzi.
Każdy korzec sprzedaje po grzywnie szostaku.
Co za wszystko uczyni, chłopie nieboraku?

Zadanie 6 (Krzysztof Schedel, Arithmetyka, XVII wiek)

Trzysta wołów tak wielkich jak małych raz miano.
Każde trzy po 63 talary sprzedano.
Za gotowe od ręki kupcowi pewnemu.
Ten myśli co by było ku zarobku swemu.
Sprzedaje prędko znowu - jednego chudego
Przydając mu dwóch wołów gatunku tłustego.
Za te właśnie pieniądze. Co gdy więc rachuje
Iż 787 talarów zarobił znajduje.
Bardzo łatwo i prędko to każdy zrachuje
Kto tylko w tej nauce być się biegłym czuje.

Zadanie 7 (Krzysztof Schedel, Arithmetyka, XVII wiek)

Matrona jedna zacna u męża godnego
Trzysta grzywien pieniędzy dla zarobku swego
Wyprosiła. Kupuje lnu pod dostatkiem za to
Daje prząść, obiecując zapłacić bogato.
Trzy sztuki otrzymuje z przędziwa swojego
Płótna roboty dobrej, gatunku cienkiego.
Każda sztuka o 79³/₄ łokciach była.
Każdy łokieć po 1²/₃ grzywny za pieniądze zbyła.
A teraz jest moje pytanie:
Co za zarobek wzięła ona za nie.

Kiedy w XVI i XVII wieku powstawały pierwsze polskie podręczniki do matematyki (wcześniej powszechnie używano łaciny), formy wierszowane służyły zapamiętywaniu skomplikowanych algorytmów, np. działań na ułamkach lub wyciągania pierwiastka kwadratowego (nie było wszak jeszcze wtedy dostępnych tablic matematycznych ani kalkulatorów). Ponieważ polskojęzyczna terminologia matematyczna dopiero raczkowała, teksty te są trudne do zrozumienia. Jest w nich dużo zapożyczeń z łaciny, np. radicis quadratae - pierwiastek kwadratowy, występują też terminy dziś wymarłe, np. wyciąganie ściany z kwadratu to obliczanie boku kwadratu o znanym polu, charaktery - to cyfry.

Przeczytaj poniższy opisy i zbadaj, czy (i jak) działa ten algorytm.

Zadanie 8 (Stanisław Solski, Geometra Polski, XVII wiek)

Radicis quadratae

Geometra chcąc ścianę wyciągać z kwadratu,
Używa na tę trudność tego aparatu.
Od prawej ręki dzieli po dwa charaktery.
Lewy wydział może mieć jedną albo dwie litery.
Tego ścianę najbliższa za lunetą stawia.
Produkt jej bierze z działu i reście przystawia
Drugi najbliższy wydział duplikuje kwota.
Duple pisze pod nowym podzielnym, by nota
Prawa padła pod lewą wydziału wtórego.
Szuka kwota dalszego, w literach górnego.
On za lupką i duplą ściany wypisuje.
Mnoży przezeń dzielący, produkt odejmuje
Z reśtą łączy dział trzeci, kwota duplikuje.
Całego cztery wiersze bliższe replikuje
Tyle razy, ile jest parzystych wydzielnych
Według geometrycznych reguł nieomelnych.
Reśta cała po ścianie nad linijką stawa.
Dwójściana z jednym, niby frakta, pod nią dawa.
Próba ściany jest pewna, gdy ścianę wprowadzisz
W onęż samę reśt przydasz, a daną wysadzisz.

Zwyczaj wierszowanych zadań w niektórych szkołach jest znany do dziś. Na przykład we wrocławskim III LO nauczyciele klas matematycznych układają często dla uczniów wierszowane listy zadań. Uczniowie zaś stają na wysokości zadania i swoje rozwiązania także piszą wierszem. Oto kilka przykładów.

Zadanie 9 (Michał Sliwiński, Ballada wysokoprocentowa, XXI wiek)

W zadaniu tym zwierzyna dostarczy nam sporo zabawy.
Chodzi o bezkręgowce, konkretnie o żebropławy.
Jak wieść gminna niesie, są na to niezbite dowody,
99 procent mają w ciele wody!
Zapytać teraz gromko chyba tu wypada,
czy osuszyć nie można jakoś tego gada.
Raz suszył tak zwierzaka mój znajomy docent,
aż wody w nim zostało 98 procent!
I odpowiedzieć szybko wam radzę:
Ile ten żebropław utracił na wadze?

W zadaniu wykorzysta każdy już chyba
znaną z lekcji zasadę zachowania grzyba.
W świeżych kurkach (zwłaszcza młodych)
90% mamy czystej wody.
Dla badań grzyby podsuszano
i 6,6 kilo ich otrzymano.
Wody odparowano równo połowę.
A teraz zachodzą grzybiarze w głowę,
Ile grzybków by zostało,
gdyby wodę odparować całą.

Grzyby z lasu koło domu Dody
mają 80% świeżej wody.
Po zebraniu Doda suszyła więc je śmiało,
aż w nich wody 10% tylko pozostało.
Otrzymane kilo z zyskiem wnet sprzedała.
Jakaż była masa, gdy grzyby zebrała?

Zadanie takie raz postawiono:
Bok prostokąta jeden zmniejszono, drugi zwiększono.
O tę samą liczbę procent wzrost był i zmalenie,
O czym was tu informuję, drogie moje Lenie!
Na koniec wiadomość dam wam jeszcze małą:
Pole tej figury o procent 2 zmalało!
Zgadnijcie teraz myśl mą natchnioną:
O ile procent jeden bok zmniejszono?

Zadanie to nieco jest podchwytliwe,
Ale zapewniam – całkiem możliwe!
Prostokąta niech każdy szuka,
w którym zachodzi ta sztuka:
Gdy o 50% szerokość zwiększymy radośnie,
To o 25% długość jego wzrośnie!
Gdy długość o 40% zmniejszyć mu szalenie,
Szerokości o 25% sprawi to zmalenie.

Nauczycieli na pewnej demonstracji
9¹/₁₁% było po kolacji.
Z tego 8% niestety
Zielone miało skarpety.
A Ty, Uczniu Przesprytny, unikając kantów,
Minimalną liczbę podaj demonstrantów.

Jeszcze jedno zadanie, o raju,
Przypomnę tu Miłej Gawiedzi:
Ile osób jedzie w tramwaju,
Gdy 54% z nich siedzi?

Jakiż błąd procentowy przytrafić się może personce,
Która liczby zna tylko dwie/trzy cyfry znaczące?

Do historii Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów przeszedł wypadek, gdy w IX edycji (2014) jeden z uczestników IX napisał wierszowane odwołaniem od oceny, jaką przyznano mu za rozwiązanie jednego z zadań. W odpowiedzi Komisja Odwoławcza wysłała również rymowane uzasadnienie przyznanej oceny. Oto ono:

Chociaż zgodny z założeniem
Punkt O ładnie Pan wyznacza,
Dowód jego jedyności
Trochę Pana już przytłacza.
Pragnąc nie wprost rozumować,
Inny punkt Z Pan obiera
I na punktach O, Z i X
Okrąg Pan rysuje teraz.
„AC częścią jest średnicy”
Twierdzi Pan, że się okaże,
Lecz uzasadnienie tego
Pozostaje w sferze marzeń.
Zaś w kryteriach oceniania
Nie ma żadnych wątpliwości:
Na sześć punktów był potrzebny
Dowód tej jednoznaczności.
Więc komisja odwoławcza
Dłużej się nie zastanawia
I z oceną pięciu punktów
Nadal Pana pozostawia

A może macie własne pomysły na matematyczne zadania pisane wierszem? Podzielnie się nimi z naszymi czytelnikami. Najlepsze propozycje nagrodzimy. Docenimy także wszystkie wierszowane rozwiązania.