Klasowa liga zadaniowa

Narzekamy, że coraz mniej jest w siatce godzin matematyki, a tu na karku obowiązkowa matura. Korzystając z tego, że większość uczniów ma dostęp do poczty elektronicznej w domu lub w szkole, możemy łatwo zintensyfikować ich kontakty z matematyką. I to w przebiegły sposób: jednocześnie motywujący i atrakcyjny zarówno dla lepszych jak i słabszych uczniów. 

Będąc kiedyś jednym z dwóch nauczycieli uczących klasę I informatyczną w III LO we Wrocławiu miałam plan ułożony tak, że widziałam się z uczniami raz w tygodniu przez 3 godziny lekcyjne. Cały semestr zajęć poświęcony był na powtórzenie (i poszerzenie) wiadomości z geometrii. Nie chcąc, aby zasiadali do niej tylko raz w tygodniu (i to pewnie tuż przed lekcjami), zorganizowałam ligę zadaniową.

Na czym polega ten pomysł

• powiedzmy, że w danym tygodniu na lekcjach (przypominam, że były na to 3 godz.) przerabialiśmy temat "trójkąty"
• przygotowywałam 10 serii po 3 zadania, wszystkie dotyczące rzecz jasna trójkątów
• pierwszą serię rozdawałam wszystkim uczniom po zaraz po lekcji
• uczeń, który rozwiązał zadania I serii, wysyłał do mnie e-mailem same odpowiedzi
• jeśli były poprawne, otrzymywał II serię zadań, jeśli nie - informację, że gdzieś jest błąd (za II razem pisałam już, w którym jest zadaniu, za III - prosiłam o szczegóły rozwiązania, szukałam błędu i odsyłałam enigmatyczne wskazówki)
• po otrzymaniu prawidłowych odpowiedzi do zadań n-tej serii wysyłałam uczniowi serię n+1
• na następnej lekcji (czyli po tygodniu) uczeń, który pierwszy zakończył ligę otrzymywał nagrodę, a lekcja rozpoczynała się od krótkiej kartkówki dotyczącej trójkątów (3 zadania na kartkówkę były rzecz jasna niemal identyczne z pewnymi trzema spośród 30 zadań ligowych).

Pracowaliśmy w tym systemie cały semestr, choć przyznam, że tempo było mordercze (dla obu stron). Uczniowie, którzy z różnych powodów nie chcieli brać udziału w wyścigach, podbierali kolegom zadania, żeby móc przygotować się do sprawdzianu. W efekcie (jak sami twierdzili po 2 latach) nawet do matury żadna powtórka z geometrii nie była im już potrzebna.

Oto dwa zestawy ligowych zadań

Trójkąty

SERIA I
1. W trójkącie ABC kąt B ma 120°, wysokość CD ma długość $\sqrt3$, a bok AC $\sqrt{19}$. Jakie jest pole tego trójkąta?
2. W trójkącie równoramiennym podstawa ma 20 cm, a ramiona 15 cm. Znajdź pole i wysokości tego trójkąta.
3. Trójkąt ma boki AB=10, AC=6 i BC=14. Znajdź długości odcinków, na jakie dwusieczna kąta C dzieli odcinek AB.

SERIA II
1. W trójkącie ABC bok AB=8 a środkowa CM=5. Kąt między AB i CM ma 45°. Znajdź pole trójkąta.
2. Znajdź promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie 10 i ramionach 13.
3. Znajdź długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach 5, 12, 13.

SERIA III
1. W trójkącie równoramiennym podstawa ma 6 cm a ramiona 5. Jaka jest odległość środka okręgu opisanego od podstawy?
2. Ramiona trójkąta równoramiennego równają się promieniowi okręgu opisanego. Znajdź kąty tego trójkąta.
3. Promień koła opisanego na trójkącie wynosi 6 i jest równy wysokości tego trójkąta. Jeden z boków ma długość 12. Ile wynosi pole trójkąta?

SERIA IV
1. W trójkącie równoramiennym podstawa AB ma długość $4\sqrt{2}$ a środkowa AK długość 5. Znajdź długości ramion.
2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wynosi 2, a opisanego 5. Znajdź boki.
3. Znajdź kąty ostre trójkąta prostokątnego, wiedząc że wysokość i środkowa opuszczone z wierzchołka kąta prostego dzielą ten kąt na równe części (są trójsiecznymi kąta).

SERIA V
1. Ile wynosi suma odległości dowolnego punktu P, leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego o boku a, od boków tego trójkąta?
2. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC=1 i BC=2 podzielono na dwie części o równych polach prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej. Jaka jest długość odcinka tej prostej, zawartego wewnątrz trójkąta i jaka jest odległość B od tej prostej?
3. Długości dwóch boków trójkąta wynoszą 12 i 12$\sqrt{3}$, a promień okręgu opisanego 12. Ile ma trzeci bok?

SERIA VI
1. Ile wynoszą promienie okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a i opisanego na tym trójkącie?
2. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC=6 i BC=12. Jaki jest promień okręgu stycznego do przyprostokątnych, o środku na przeciwprostokątnej?
3. Punkt wewnętrzny trójkąta równobocznego jest odległy od boków trójkąta o: 1, 10, 100. Jaki jest obwód tego trójkąta?

SERIA VII
1. Znajdź odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 10 i 24.
2. Punkt wewnętrzny trójkąta równobocznego jest odległy od wierzchołków trójkąta o: 1, 10, 100. Jaki jest obwód trójkąta?
3. W trójkąt równoramienny o podstawie 12 i ramionach 18 wpisano okrąg. Jaka jest odległość między punktami styczności na ramionach?

SERIA VIII
1. Odległość środka ciężkości trójkąta ABC od wysokości CF wynosi 6, a bok AB=20. Jakie są długości odcinków, na jakie F dzieli AB?
2. W trójkąt równoramienny o podstawie 10 i ramionach 13 wpisano okrąg. Styczna do tego okręgu przecina ramiona w punktach P i Q. Znajdź długość odcinka PQ.
3. Prowadzimy dwie proste równolegle do dwóch boków trójkąta tak, że dzielą one trójkąt na 4 części o równych polach. Znajdź długości odcinków, na jakie proste te dzielą trzeci bok trójkąta, jeśli jego długość wynosi 2.

SERIA IX
1. Dane są długości boków trójkąta a=2, b=4 oraz długość środkowej poprowadzonej z ich wspólnego wierzchołka s=$\sqrt{3}$. Znajdź pole trójkąta.
2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wynosi 3, a długość przeciwprostokątnej 15. Znajdź długości pozostałych boków.
3. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym wysokości AD=6 i BE=8 przecinają się w punkcie M i kąt AMB ma 150°. Oblicz pole trójkąta.

SERIA X
1. Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg i dane są jego kąty A i B (A<B). Wyznaczyć kąt między prostą AB i styczną do okręgu w punkcie C.
2. W trójkącie prostokątnym promień koła wpisanego jest 5, a odległość między środkami kół wpisanego i opisanego na tym trójkącie jest 12. Oblicz obwód i pole trójkąta.
3. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości a i 2a. Oblicz długość promienia okręgu stycznego do przyprostokątnych o środku leżącym na przeciwprostokątnej.

SERIA XI
1. W trójkącie prostokątnym długości boków są całkowite i jedna przyprostokątna wynosi 12. Jakie są długości pozostałych boków?
2. Pole trójkąta o bokach a≤b≤c wynosi 1,5. Jaka jest co najmniej długość b?
3. W trójkącie ostrokątnym ABC długości AB, BC, AC są kolejnymi liczbami naturalnymi większymi od 3. Wysokość poprowadzona do boku BC dzieli go na 2 części. Jaka jest różnica długości tych części?

Czworokąty

SERIA I
1. Dla kwadratu o boku a znajdź promienie okręgu wpisanego i opisanego.
2. Długość boku a równoległoboku wynosi 3, a wysokości wynoszą h_a=6, h_b=2. Ile wynosi drugi bok?
3. W równoległoboku ABCD bok AB=4 i AD=3, a kąt ADC=150°. Znajdź pole i obie wysokości.

SERIA II
1. Dane są 2 czworokąty podobne. Jeden ma boki długości 6, 6, 7, 9, a drugi obwód 84. Jakie ma boki?
2. W równoległoboku długości przekątnych są równe 6 i 10, a kąt między nimi ma 60°. Znajdź długości boków i pole.
3. Boki równoległoboku mają długości 2 i 3, a przekątna $\sqrt{5}$. Znajdź długość drugiej przekątnej.

SERIA III
1. Podstawy trapezu równoramiennego wynoszą 12 i 8, a kąt przy podstawie ma 45°. Znajdź długości ramion.
2. Ile wynosi pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 32 i 8 oraz ramionach długości 13?
3. Znajdź pole trapezu równoramiennego o wysokości 10, wiedząc że jego przekątne są prostopadłe.

SERIA IV
1. Dane są podstawy trapezu prostokątnego 12 i 7 oraz kąt przy podstawie 45°. Znajdź długości przekątnych.
2. Znajdź pole trapezu o podstawach 44 i 16 oraz ramionach 25 i 17.
3. Dane są podstawy trapezu prostokątnego 7 i 4 oraz prostopadłe do podstawy ramię $\sqrt{3}$. Znajdź kąty trapezu.

SERIA V
1. W trapezie dane są długości podstaw AB=50 i CD=20 oraz przekątnych AC=35 oraz BD=42. W jakim stosunku dzielą się przekątne?
2. Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie S. Pole trójkąta ABS wynosi 36, a pole CDS 4. Znajdź pole trapezu.
3. Punkty M i N dzielą ramiona trapezu w stosunku 2:1 (licząc od dłuższej podstawy). Wyraź długość odcinka MN za pomocą długości podstaw trapezu a i b (a>b).

SERIA VI
1. Bok rombu wynosi $2\sqrt{3}$, a kąt ostry 60°. Znajdź promień okręgu wpisanego.
2. Przekątne rombu mają długości 8 i 6. Jaki jest promień okręgu wpisanego?
3. Znajdź promień okręgu wpisanego w trapez równoramienny o podstawach 8 i 2.

SERIA VII
1. W trapezie równoramiennym ABCD kąt BAD ma 60°, a odległość środka okręgu wpisanego od wierzchołka A wynosi 2. Oblicz boki trapezu.
2. Podstawy trapezu wynoszą 20 i 12. Znajdź pozostałe boki, wiedząc że środek okręgu opisanego na trapezie leży na dłuższej podstawie.
3. Podstawy trapezu wpisanego w okrąg wynoszą 16 i 12, a wysokość 14. Znajdź promień okręgu.

SERIA VIII
1. Pole trójkąta ABC wynosi 120. Oblicz wysokość trapezu ABED (E leży na BC, D na AC), w którym AB=12, DE=8, a pole trapezu stanowi 60% pola trójkąta ABC.
2. Podstawy trapezu wynoszą 24 i 10, a promień okręgu opisanego 13. Znajdź wysokość trapezu.
3. Dany jest dowolny czworokąt wypukły. Jaki punkt tego czworokąta ma najmniejszą sumę odległości od wierzchołków?

SERIA IX
1. W trójkąt równoramienny o podstawie 20 i wysokości 8 wpisano prostokąt tak, że jeden z boków prostokąta leży na podstawie. Jakie może być największe pole takiego prostokąta?
2. Dla jakiej wartości kąta ostrego trapez równoramienny ABCD o bokach AD=CD=BC=1 ma największe pole?
3. Podstawy trapezu wynoszą AB=10 i CD=4, pole wynosi 21, a bok AD tworzy z krótszą podstawą kąt 150°. Jaką długość ma ten bok?

SERIA X
1. Prostokąt o bokach 6 i 8 rozcięto wzdłuż przekątnej i z otrzymanych części utworzono deltoid. Jaki jest promień koła weń wpisanego?
2. Trapez o ramionach 3 i 5 jest opisany na okręgu. Prosta łącząca środki ramion dzieli trapez na części, których pola mają się jak 5:11. Oblicz długości podstaw.
3. Przekątne kwadratu ABCD przecinają się w punkcie O. M jest środkiem OD, a N środkiem BC. Jakie kąty ma trójkąt AMN?

SERIA XI
1. W równoległoboku ABCD E i F są środkami boków BC i AD. Jaki jest stosunek odcinków, na jakie AE i CF dzielą przekątną?
2. Dokończ zdanie: Przekątne czworokąta są dwusiecznymi jego kątów wtedy i tylko wtedy gdy ..........
3. W trójkąt równoboczny wpisano trzy przystające kwadraty. Środki wpisanych kwadratów są wierzchołkami trójkąta. Oblicz stosunek pól obu trójkątów.