Gdy funkcja jest niewiadomą - równania funkcyjne

Równań, w których szukamy liczb spełniających jakiś warunek, nikomu nie trzeba specjalnie przedstawiać. Znacie je dobrze ze szkoły. Na przykład równanie 3x = 6 spełnia liczba 2, równanie  3x = 3x spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, a równania 3x+4 = 3x nie spełnia żadna liczba. W tych równaniach x oznacza szukaną liczbę i jest nazywane niewiadomą. Teraz zajmiemy się równaniami, w których szukamy wszystkich funkcji spełniających pewien warunek, to znaczy niewiadomą będzie teraz nie liczba x, ale funkcja f(x). Równania funkcyjne (bo tak je nazywamy) są trudniejsze od równań szkolnych, bo nie ma algorytmu na ich rozwiązywanie - każde jest inne. Są jednak pewne metody, które dają się dość często stosować. Poznajmy je. 

Uwaga. Jeśli nie podano inaczej, zakładamy, że dziedziną funkcji jest największy sensowny podzbiór zbioru liczb rzeczywistych (jest to tzw. dziedzina naturalna funkcji), a przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Ponadto należy pamiętać, że podane równości muszą zachodzić dla wszystkich argumentów należących do dziedziny funkcji.  

 Zadanie 0 (podstępne). Znajdź wszystkie funkcje, które spełniają równanie

 Rozwiązanie. Gdy podstawimy y=0, otrzymamy równość f(x)=x (sprawdź!). Czy więc możemy cieszyć się, że znaleźliśmy wymarzoną funkcję? Otóż nie. Zauważ, że nie wykonujemy przejść równoważnych − pokazujemy, że jeśli funkcja spełnia pierwsze równanie, to spełnia też drugie. Na żadnym etapie nie mówimy, że jeśli funkcja spełnia drugie równanie, to spełnia też pierwsze. Wykonując wszelkie podstawienia, zawężamy potencjalny zbiór rozwiązań. Jednak trzeba potem sprawdzić, które z tych potencjalnych rozwiązań faktycznie spełniają równanie z zadania. Sprawdźmy więc, czy f(x)=x spełnia to równanie. Po użyciu tego wzoru wygląda ono następująco: x−x=x+y−x−y+y, czyli 0=y. Ale równanie funkcyjne ma działać dla wszystkich y, a nie tylko dla jednego. Oznacza to, że nie istnieje funkcja spełniająca wyjściowe równanie.  

Widzimy więc, że sprawdzenie, czy rozwiązania faktycznie są rozwiązaniami, nie jest wyłącznie formalnością. Nie wolno o tym zapomnieć.

 Zadanie 1. Rozwiąż równanie f²(x+y) = f²(x) + f²(y).

 Rozwiązanie. Równość musi być spełniona dla wszystkich argumentów, a więc także dla x=y=0. Otrzymamy wówczas (f(0))² = (f(0))² + (f(0))², a więc (f(0))² = 0, czyli f(0) = 0. Podstawmy teraz do równania y=-x. Dostaniemy f²(0) = f²(x) + f²(-x). Ale lewa strona jest równa zero, a prawa strona to suma kwadratów, więc każdy jej składnik musi być stale równy 0. Czyli zawsze f(x)=0. Musimy jeszcze sprawdzić, że faktycznie otrzymana funkcja spełnia równanie funkcyjne, ale ta część rozwiązania jest oczywista i możecie wykonać ją sami.

Zadanie 2. Rozwiąż równanie f(x)f(y)–xy = f(x)+f(y)–1.

Rozwiązanie. Postawmy x=y=1. Otrzymamy f(1)f(1)–1 = 2f(1)–1, czyli f(1)(f(1)–2) = 0. Zatem f(1) może być równe 0 lub 2. Po podstawieniu x=x, y=1 otrzymamy f(1)f(x)–x = f(1)+f(x)–1. 

• Jeśli f(1)=0, to  x = f(x)–1, czyli f(x) = -x+1.
• Jeśli f(1)=2, to  2f(x)–x = f(x)+1, czyli f(x) = x+1.

 Sprawdzamy, że obie te funkcje spełniają wyjściowe równanie. 

Zadanie 3. Rozwiąż równanie f(x²+y) = f(x⁵+2y)+f(x⁴).

Rozwiązanie. Aby jak najwięcej składników się skróciło, podstawimy sprytnie y=x²–x⁵ i dostaniemy f(x⁴) = 0. Wiemy już, że dla argumentów nieujemnych funkcja musi przyjmować wartość 0, a co z argumentami ujemnymi? Wystarczy przyjąć y=0, by otrzymać równość f(x) = 0 dla wszystkich argumentów.

Zadanie 4.  Rozwiąż równanie f(x+y)–f(x–y) =  f(x)f(y).

Rozwiązanie. Gdy podstawimy x=y=0, dostaniemy f(0)=0. Gdy zaś wstawimy y=0, uzyskamy f(x)=f(-x) dla każdego x, czyli funkcja musi być parzysta, ale gdy x=y, mamy f(2x) = f(x)²; gdy zaś x=-y, mamy f(-2x) =f(x)f(-x)= f(x)². To oznacza, że f(2x) = -f(2x), czyli f(2x) = 0. Jedyną funkcją spełniającą równanie może być zatem funkcja stale równa zeru. Sprawdzamy, że istotnie spełnia ona to równanie. 

Zadanie 5. Rozwiąż równanie f(x)+f(1/x) = x.

Rozwiązanie. Wstawmy w miejsce argumentu 1/x. Wówczas równanie przyjmie postać f(x)+f(1/x) = 1/x. Ale f(x)+f(1/x) nie może być równe jednocześnie x i 1/x, chociażby dla x=2, równanie to nie ma więc rozwiązań.

Zadanie 6. Rozwiąż równanie: 2f(x)–f(1/x) = x.

Rozwiązanie. Podstawmy w miejsce argumentu 1/x. Wówczas równanie przyjmie postać 2f(1/x)–f(x) = 1/x. Po dodaniu do niego stronami dwukrotności pierwszego równania otrzymamy 3f(x) = 2x+1/x. Czy taka funkcja f spełnia wyjściowe równanie?

A teraz Twoja kolej! Rozwiąż samodzielnie poniższe równania.

Zadanie 7. 2f(x)–3f(1/x) = x²

Zadanie 8. 3f(x)+5f(1–x) = x

Zadanie 9. f(x+y)–f(x–y) = 4xy

Zadanie 10. xf(y)+yf(x) = (x+y)f(x)f(y)