Zegarowe opowieści

Data ostatniej modyfikacji:
2010-08-26
Autor: 
Piotr Kryszkiewicz
nauczyciel w ZS w Miliczu
Dział matematyki: 
arytmetyka
łamigłówki logiczne
Poziom edukacyjny: 
szkoła podstawowa
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa

Wiele zadań na różnych konkursach matematycznych (i to zarówno dla szkół podstawowych jak i dla starszych kategorii wiekowych) dotyczy mierzenia czasu i własności zegarów (wskazówkowych lub z wyświetlaczem cyfrowym). Dlatego warto nabyć wprawy w rozwiązywaniu takich zadań. Zebrane tu zadania i łamigłówki pochodzą głównie z różnych edycji Międzynarodowych Mistrzostw w Grach Matematycznych i Logicznych. Są ułożone ze względu na rosnący stopień trudności, co powinno ułatwić ich rozwiązywanie i wykorzystanie do zajęć na kółku matematycznym.

Zachęcamy do dopisywania w komentarzach kolejnych ciekawych zadań na ten temat, podawania linków do takich zadań lub dzielenia się ich rozwiązaniami.

Rozwiązania do poniższych zadań zamieścimy już wkrótce.

Zegary analogowe, czyli ze wskazówkami

Zadanie 1. Z czterech zegarów oznaczonych literami A, B, C, D (patrz rysunek) jeden wskazuje dokładny czas, jeden śpieszy o 20 minut, drugi o 25, a jeden późni o 5 minut. Który zegar wskazuje dokładny czas?

 

 

Zadanie 2. Dwa jednakowe zegary (patrz rysunek) zatrzymały się ostatniej nocy. Rano zdjęto je ze ściany do nastawienia. Wiadomo, że pierwszy stanął o 1:53. O której godzinie zatrzymał się drugi zegar?

 

Zadanie 3. Pan Jarek ma zegarek bez cyfr na tarczy, którego wskazówki obracają się w przeciwnym kierunku niż normalnie. Półtorej godziny po północy pan Jarek spojrzał na odbicie tarczy swojego zegarka w lustrze. Którą godzinę zobaczył? Która godzinę zobaczyłby patrząc wprost na tarczę?

Zadanie 4. Aneta przygotowuje się do wyjścia na wieczorne spotkanie. Staje przed lustrem i widzi w nim odbicie zegarka. - O rany! O tej godzinie powinnam już wyjść, a jeszcze nie jestem gotowa! – myśli. Wtedy spogląda przez okno na zegar na wieży kościelnej i stwierdza z ulgą, że ma jeszcze godzinę na przygotowanie się. Która jest godzina?

 

Zadanie 5. To lustrzane odbicie zegara (patrz rysunek), w którym wszystkie wskazówki mają tę samą długość. Ostatnią pełną godzinę zegar pokazywał 1111 sekund temu. Którą pokazuje teraz?

Zadanie 6. Jaki kąt tworzą wskazówki zegara o 20:06?

Zadanie 7. Pewnego słonecznego przedpołudnia Beata spojrzała na zegarek i zauważyła, że jego wskazówki tworzą linię prostą. Linia ta podzieliła liczby na tarczy na dwie części o równych sumach. Która była godzina?

Zadanie 8. W siedzibie Klubu Miłośników Gier Logicznych znajduje się zabytkowy zegar, który ma trzy wskazówki: sekundową, minutową i godzinową. Każda porusza się skokowo (sekundowa co sekundę, minutowa co minutę, a godzinowa co 12 minut) i może zajmować jedną z 60 pozycji. O 12:00 wskazówki pokrywają się. Na czas remontu zegara oryginalne wskazówki zostały zastąpione trzema jednakowymi, a tarcza została przypadkowo obrócona i nie wiadomo, gdzie jest godzina12. Jednak zegar cały czas prawidłowo chodzi. Pewnego popołudnia prezes Klubu spojrzał na zegar (patrz rysunek) i zauważył, że wskazówki zegara utworzyły literę T. Po niecałych 30 minutach spojrzał ponownie i spostrzegł, że wskazówki tworzą literę Y i kąty 120°. Która była godzina w chwili, gdy prezes pierwszy raz spojrzał na zegar?

Zadanie 9. Zegarmistrz przez pomyłkę wstawił do zegarka wskazówkę godzinową identyczną z minutową. Ile jest takich położeń wskazówek w ciągu doby, przy których nie można jednoznacznie odczytać czasu?

Zadanie 10. Trzy mrówki znajdują się na zegarze: jedna z nich śpi na środku tarczy, druga na końcu małej wskazówki, a trzecia na końcu dużej, mającej 22 cm długości. Trzecia mrówka obudziła się, gdy zegar wybijał 15:00, i skierowała się ze stałą prędkością po wskazówce do środka tarczy, co zajęło jej godzinę. W tym czasie mrówki raz tworzyły trójkąt równoboczny. Jaka jest długość małej wskazówki?

Zadanie 11. Mój kolega ma zegarek, który funkcjonuje w dziwny sposób: wskazówka sekundowa obraca się w odwrotnym kierunku niż minutowa i godzinowa, które obracają się normalnie. O godzinie 14:00 i 14:45 zegarek kolegi wskazywał dokładny czas. Ile razy to się jeszcze zdarzyło pomiędzy tymi godzinami?

Zadanie 12. Albert eksperymentuje z zegarkami własnej konstrukcji. Każdy z nich ma 24-godzinny cyferblat, pierwszy zegar chodzi w normalnym tempie, ale w odwrotnym kierunku, a drugi w normalnym kierunku, ale dwa razy szybciej. O 13:00 oba zegary wskazywały dokładny czas. O której godzinie wskazówki na tarczach obu zegarów będą znowu w zgodnym położeniu?

Zegary cyfrowe, czyli z wyświetlaczem LCD

Zadanie 1. Zegarek ma wyświetlacz cyfrowy, na którym pojawiają się po dwie cyfry dla oznaczania godzin i minut. Ponadto został tak zaprogramowany, że emituje dźwięk "bip" w momencie, gdy suma cyfr na wyświetlaczu wynosi 9. Ile bipów wyemituje zegarek między 4:00 i 12:00?

Zadanie 2. Zegar cyfrowy pokazuje godziny (w systemie od 00 do 23), minuty i sekundy. Ile razy w ciągu doby wszystkie cyfry zmieniają się na tym zegarze na raz?

Zadanie 3. Na wyświetlaczu mojego zegarka cyfrowego jest godzina 02:31. Ile czasu minie zanim cyfry 0,1, 2, 3 znowu pojawią się razem na wyświetlaczu?

Zadanie 4. Na szklanym blacie biurka Beaty stoi 24-godzinny zegarek cyfrowy. O 13:08 dziewczynka zauważyła, ze jego odbicie w blacie biurka też pokazuje tę samą godzinę. Ile razy zdarza się to w ciągu doby?

Zadanie 5. Zegarek elektroniczny pokazujący godziny i minuty (godziny pokazuje do 23) leży na stole pomiędzy Jasiem i Małgosią, którzy siedzą naprzeciw siebie. Każde z nich spojrzało na zegarek i odczytało pewną godzinę. Ile czasu w ciągu doby może zajść taka sytuacja?

Zadanie 6. Na dworcu zegar cyfrowy wyświetla czas w formacie czterech cyfr (dwie dla godzin od 00 do 23 oraz dwie dla minut od 00 do 59), z których każda składa się z 7 segmentów świetlnych. Podczas 5 minut postoju pociągu podróżny liczył w każdej minucie segmenty, które zmieniały swój stan (zapalały się lub gasły). Odnotował kolejno: 4 zmiany, 1 zmianę, 11 zmian i 4 zmiany. Która godzina pojawiła się po piątej zmianie?

Zadanie 7. Zegarek elektroniczny wyświetla cyfry zapalając w danym polu do 7 kresek. Jeśli w danym polu wyświetlane są kolejno wszystkie cyfry od 0 do 9, która z kresek jest używana najmniejszą liczbę razy?

Zadanie 8. Na zegarku każda cyfra jest wyświetlana jako kombinacja pewnych 7 segmentów. Może być na nim wyświetlana data lub godzina, każda w postaci dwóch liczb dwucyfrowych oddzielonych dwukropkiem. Zegarek został tak zaprogramowany, że ma możliwość jednoczesnego wyświetlania daty i godziny poprzez nałożenie odpowiednich cyfr. Na rysunku wyświetlony jest jednoczesny obraz daty 1 XII i godziny 12:47. Pewnego dnia o pewnej porze wśród ośmiu cyfr wskazujących datę i godzinę było 7 różnych cyfr bez dwójki i siódemki, zaś w trybie jednoczesnego wyświetlenia daty i godziny na ekranie pojawiły się cztery ósemki. Kiedy to się zdarzyło?

Zadanie 9. Zegarek wyświetla godziny od 0:00 do 23:59 (cyfra dziesiątek godzin wyświetla się tylko wtedy, gdy jest różna od zera). Każda cyfra jest wyświetlana jako kombinacja pewnych 7 segmentów. Na rysunku widać, jak wyświetlana jest cyfra 5, gdy nie działają segmenty oznaczone pojedynczymi kreskami. Wtedy nie można odczytać tej cyfry jednoznacznie (tak samo wyglądają 3, 7 i 9). Jaka maksymalna liczba segmentów może nie działać, żeby w każdej chwili można było odczytać, która jest godzina?

Zegary bijące godziny

Zadanie 1. Ile razy w ciągu doby bije zegar, który wybija pełne godziny i połówki godzin?

Zadanie 2. Zegar wybija godzinę 6 w ciągu 6 sekund. Jak długo będzie wybijał godzinę 12?

Zadanie 3. W pewnym mieście godziny wybijają dwa zegary, z których pierwszy bije co dwie sekundy, a drugi co trzy, przy czym drugi zegar rozpoczyna zawsze wybijać godziny o 2 sekundy wcześniej niż pierwszy. Którą godzinę wskazywały zegary, jeżeli usłyszano 12 uderzeń?

Zegary z defektem

Zadanie 1. Wczoraj Marek nastawił na właściwą godzinę stary zegar i stary budzik swojego dziadka. Dziś rano stwierdził, że zegar pokazuje godzinę 7:00, a budzik 6:00. Marek pamięta, że według słów dziadka, zegar spieszy 1 minutę na godzinę, a budzik późni 3 minuty na godzinę. O której Marek nakręcił zegar i budzik?

Zadanie 2. Zegarek babci spieszy, a dziadka późni 30 minut na godzinę. O północy oboje nastawili zegarki. O której godzinie oba zegarki pokażą znowu ten sam czas?

Zadanie 3. Zegarek Marka śpieszy 3 minuty na godzinę, a zegarek jego nauczyciela późni 5 minut na godzinę. Tego ranka oba zegarki ustawiono w tym samym momencie według dokładnego zegara na wieży ratusza. Pod koniec ostatniego obiegu tego dnia jeden zegarek wskazywał godzinę 15:55, a drugi 17:07. Która godzina była na ratuszu w momencie, gdy zegarki zostały ustawione?

Zegary w podróży

Zadanie 1. Sydney poleciał na wakacje do Melbourne w Australii. Lot trwał 21 godzin. Wyleciał z Londynu o 11:30 we wtorkowe przedpołudnie. Która godzina była w Melbourne, gdy tam przyleciał?

Zadanie 2. Dziś wybieram się na wakacje do Syldawii i wykupiłem bilet na samolot, który odlatuje z Paryża o godz. 23:30 i przylatuje do Syldawii następnego dnia o godzinie 9:45 rano. Powrót zaplanowałem samolotem tej samej linii, który odlatuje z Syldawii o godzinie 11:00 i przylatuje do Paryża tego samego dnia o godzinie 15:45. Czas lotu w jedną i drugą stronę jest taki sam. Godziny odlotów i przylotów podane są według czasu lokalnego. Ile trwa lot z Paryża do Syldawii?

Zadanie 3. Okrążając kulę ziemską w kierunku wschodnim (tak jak zrobił to Phileas Fogg z powieści Juliusza Verne'a), po przekroczeniu linii zmiany daty podróżujący "znajduje się" w czasie o 24 godziny wcześniejszym, zatem człowiek okrążający Ziemię w czasie krótszym niż 24 h (co jest przecież technicznie możliwe) znajdzie się po takiej podróży w miejscu startu o czasie wcześniejszym niż ten, w którym wyruszył. Jak to możliwe?

Zegary prehistoryczne

Zadanie 1. Mamy do dyspozycji sznurek i źródło ognia. Sznurek spala się w ciągu godziny, ale wykonany jest z niejednorodnego materiału i jedne jego fragmenty palą się szybciej, a inne wolniej. Jak odmierzyć 30 minut, nie używając niczego więcej?

Zadanie 2. Mamy do dyspozycji zapalniczkę oraz dwa sznurki, z których każdy spala się w godzinę. Jak za ich pomocą odmierzyć 15 minut?

Zadanie 3. Profesor Sędziwy gotuje jajko przez 4 min, ale nie używa przy tym zwykłego zegarka, tylko dwóch klepsydr. Jedna z nich odmierza 8, a druga 3 minuty. Skąd profesor wie, kiedy jajko jest gotowe?

Zadanie 4. Jak można przygotować kalafior do sałatki, jeśli ma on być gotowany 15 min, a czas możemy mierzyć jedynie za pomocą dwóch klepsydr - 7- i 11-minutowej?

 

Powrót na górę strony