Zad. 1. M i N wiedzą, że x i y są dodatnimi liczbami całkowitymi, których suma nie przekracza 19. M zna ich sumę, a N - iloczyn. M mówi: - Nie wiem, jakie to liczby. Na to N: - Wiedziałem, że nie będziesz wiedział. M: - A teraz to już wiem. N: - Teraz ja też wiem. Znajdź x i y.
Zad. 2. Rozłóż dwumian x4+2 na czynniki.
Zad. 3. ABCDEF jest sześciokątem foremnym, a Ś - jego środkiem symetrii. Uzasadnij, że dla dowolnego punktu P w przestrzeni suma jego odległości od wierzchołków ABCDEF jest nie mniejsza niż suma odległości tych wierzchołków od Ś.
W roku szkolnym 2007/08 w Lidze Zadaniowej Szkół Ponadgimnazjalnych brało udział zaledwie 12 osób. Najwięcej punktów (25 na 27 możliwych) zdobył Damian Olczyk - I LO Olesno. Gratulujemy! Nagrody - książki, łamigłówki i sprzęt sportowy - wyślemy pocztą.
Mamy nadzieję, że w przyszłym roku szkolnym uczestników Ligi będzie więcej. Wszystkich licealistów zapraszamy do wspólnej zabawy od października!
Zad. 1. Z pierwszej wypowiedzi M wynika, że sumą nie jest 2 ani 3. Fakt ten wywnioskował N, znając wartość xy. Nie może być to więc wartość 1 ani 3 i ta informacja wystarcza z kolei, aby z wartości x+y dojść do x i y. Iloczyn równy 1 daje sumę pozwalającą ustalić x i y od razu, zatem x i y są takie, że ich suma jest jednocześnie sumą dwóch liczb o iloczynie 3, czyli wynosi 4. Wówczas rzeczywiście - wypowiedzi M i N zgadzają się, więc x=y=2.
Zad. 2. x4+2 = x4+2x2√2+2-2x2√2 = (x2+√2)2-(√8·x)2 = (x2+√8·x+√2)(x2-√8·x+√2)
Zad. 3. Warunek trójkata dla trójek (P, A, D), (P, B, E) i (P, C, F) daje PA+PD≥AD, PB+PE≥BE, PC+PF≥CF. Po dodaniu stronami mamy: PA+PB+PC+PD+PE+PF ≥ AD+BE+CF = (AŚ+DŚ)+(BŚ+EŚ)+(CŚ+FŚ), co kończy dowód.
