Zad. 1. W prostokątnym układzie współrzędnych odcinek o końcach (0, 0) i (1, 2008) jest bokiem kwadratu K. Ile punktów o obu współrzędnych całkowitych znajduje się we wnętrzu K?
Zad. 2. ABCD jest trapezem równoramiennym, w którym AB jest dłuższą podstawą, a AC zawiera się w dwusiecznej kąta A. Jakie wartości może przyjmować stosunek AB:CD?
Zad. 3. Ile jest 7-cyfrowych wielokrotności trójki, których każda cyfra to 1, 5 albo 9?
W maju poprawne rozwiązania 3 zadań nadesł Damian Olczyk z I LO w Oleśnie.
Gratulujemy!
Najlepszym uczestnikiem od początku trwania Ligi jest również Damian Olczyk (19 pkt. na 24 możliwe).
Zad. 1. Kwadrat ten ma pozostałe wierzchołki w (2009, 2007) i (2008, -1) lub symetrycznie względem pierwszego boku, co daje taką samą odpowiedź. Wszystkie punkty kratowe z wnętrza tego kwadratu należą do kwadratu (z brzegiem) o wierzchołkach (1, 0), (1, 2007), (2008, 2007) i (2008, 0). Powstaje więc "kwadrat punktów kratowych" o "boku" 2008, odpowiedzią jest zatem 20082. Do tego samego wyniku można też łatwo dojść, stosując twierdzenie Picka.
Zad. 2. Zauważmy, że każdy taki trapez wyznacza bok AB i półprosta o początku w A zawierająca AC. Półprosta ta może być nachylona do AB pod dowolnym kątem z przedziału (0, 45) stopni. Skrajne przypadki to trapez zdegenerowany do odcinka AB (z punktami D i C dzielącymi go na 3 równe części) oraz kwadrat, dające odpowiednio CD/AB=1/3 i CD/AB=1. Ponieważ większych ani mniejszych wartości tego stosunku być nie może, a przy ciągłej zmianie kąta również ten stosunek zmienia się w sposób ciągły, przyjmuje on wszystkie wartości ze zbioru (1,3).
Zad. 3. Zauważmy, że układając taką liczbę, jej sześć np. początkowych cyfr możemy wybrać dowolnie i jednoznacznie ustalą one siódmą (reszty z dzielenia przez 3). Wszystkich takich liczb jest więc tyle, co takich wyborów, a tych jest 36=729.
