Uwaga! Rozpoczynając od stycznia 2014, zadania Ligi Zadaniowej dla szkół ponadgimnazjalnych należy wysyłać na adres mejlowy kisowski@gazeta.pl. Adres pocztowy pozostaje bez zmian.
Zad. 1. Kiedy wyrażenie |x-2|+|4-x| przyjmuje najmniejszą wartość dla x rzeczywistych i ile ona wynosi?
Zad. 2. Serwisant obsługuje trzy serwerownie działające niezależnie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu tygodnia pierwsza serwerownia nie wymaga wizyty serwisanta wynosi 0,9. Dla drugiej i trzeciej serwerowni te prawdopodobieństwa wynoszą odpowiednio 0,8 i 0,7. Oblicz wartość oczekiwaną liczby serwerowni, które nie potrzebują wizyty serwisanta w ciągu tygodnia, oraz odchylenie standardowe od tej wartości.
Zad. 3. Udowodnij, że jeśli w czworokąt o prostopadłych przekątnych jest wpisany okrąg, to iloczyny długości jego przeciwległych boków są równe? Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Kamila Bojar ZSP Szprotawa, Robert Czwartosz LO Trzebnica i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski,
- 2,5 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław i Piotr Dzierza XIII LO Wrocław,
- 2 pkt. - Marcin Korona XIV LO Warszawa,
- 1,25 pkt. - Maciej Golec IX LO Wrocław.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 1 punktu.
Zwycięzcą tegorocznej Ligi Zadaniowej dla Szkół Ponadgimnazjalnych z wynikiem 26,5 pkt. (na 27 możliwych) został Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy. Kolejne miejsca zajęli:
- Tomasz Stempniak (26 pkt)
- Piotr Dzierza (23,5)
- Krzysztof Bednarek (20 pkt)
- ex aequo Kamila Bojar, Maciej Golec, Marcin Korona (19 pkt)
- Krzysztof Danielak (13,5 pkt)
Gratulujemy!
Zad. 1. Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb to ich odległość na osi liczbowej. Wyrażenie |x-2|+|4-x| opisuje sumę odległości liczby x od 2 i od 4. Dla liczb z przedziału [2, 4] ta suma wynosi 2, a dla pozostałych liczb rzeczywistych jest większa od 2 (bo jeden z dodatnich składników jest wtedy większy od 2).
Zad. 2. Ponieważ serwerownie działają niezależnie, prawdopodobieństwo, że w ciągu tygodnia żadna z nich nie będzie wymagała wizyty serwisanta wynosi P(3) = 0,9 · 0,8 · 0,7 = 0,504. Prawdopodobieństwo, że w ciągu tygodnia dokładnie dwie serwerownie nie będą wymagały wizyty serwisanta wynosi
P(2) = (0,9 · 0,8 · 0,3) + (0,1 · 0,8 · 0,7) + (0,9 · 0,2 · 0,7) = 0,398.
Prawdopodobieństwo, że w ciągu tygodnia dokładnie jedna serwerownia nie będzie wymagała wizyty serwisanta wynosi
P(1) = (0,9 · 0,2 · 0,3) + (0,1 · 0,8 · 0,3) + (0,1 · 0,2 · 0,7) = 0,092.
Prawdopodobieństwo, że w ciągu tygodnia wszystkie serwerownie będą wymagały wizyty serwisanta wynosi
P(0) = 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,006.
Wartość oczekiwana liczby serwerowni, które nie potrzebują wizyty serwisanta w ciągu tygodnia wynosi zatem
3 · 0,504 + 2 · 0,398 + 1 · 0,092 + 0 · 0,006 = 2,4.
Odchylenie standardowe od tej wartości to pierwiastek z wariancji, która wynosi
(3-2,4)2 · 0,504 + (2-2,4)2 · 0,398 + (1-2,4)2 · 0,092 + (0-2,4)2 · 0,006 = 0,46.
Zatem odchylenie standardowe to √0,46 ≈ 0,678.
Wynik ten oznacza, że jeśli serwerownie pracują przez wiele tygodni, to średnio 2,4±0,6 z nich (czyli średnio między 1,8 a 3) nie wymaga wizyty serwisanta.
Zad. 3. Oznaczmy długości kolejnych boków tego czworokąta przez a, b, c i d. Jeśli w ten czworokąt można wpisać okrąg, to sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, czyli a+c = b+d. Z kolei korzystając z prostopadłości przekątnych i czterokrotnie z twierdzenia Pitagorasa, dostajemy a2+c2 = b2+d2. Podnosząc do kwadratu obie strony równości a+c = b+d, dostajemy a2+2·a·c+c2 = b2+2·b·d+d2. Z obu warunków dostajemy a·c = b·d, co należało wykazać.
Twierdzenie odwrotne brzmi: Jeśli w czworokącie o prostopadłych przekątnych iloczyny długości przeciwległych boków są równe, to można w niego wpisać okrąg. To twierdzenie jest również prawdziwe. Wiemy bowiem, że w takim czworokącie a2+c2 = b2+d2 (z prostopadłości przekątnych) oraz a·c = b·d (z założenia). Dodając te równości stronami mamy a2+2·a·c+c2 = b2+2·b·d+d2, co daje (a+c)2 = (b+d)2,co wobec dodatniości obu stron daje warunek a+c = b+d.
