Zad. 1. Pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10n+4n–2 jest podzielna przez 3.
Zad. 2. Podaj dwa przykłady liczb naturalnych, których kwadrat zaczyna się na 123456789 i kończy się na 987654321.
Zad. 3. Czy w każdym czworokącie można wybrać trzy boki, z których da się zbudować trójkąt? Uzasadnij odpowiedź.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3- Jakub Dobrzański G 3 Lubin, Kacper Gembara G w ZSS Wołów, Marek Komorowski G 3 Żory, Joanna Lisiowska KZE Warszawa i Laura Stefanowska G im. św. Franciszka z Asyżu Legnica;
- 2,5 - Wiktor Koropczuk G 3 Gorzów Wielkopolski, Oliwia Kropidłowska G 1 Wrocław, Konrad Litwiński G 86 Warszawa i Przemysław Rybarczyk G Integracyjne Stargard.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Po dziewięciu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem w czołówce znaleźli się (w nawiasach podajemy liczby zdobytych punktów na 27 możliwych):
I m. (26,5) - Jakub Dobrzański,
II m. (26) - Oliwia Kropidłowska, Przemysław Rybarczyk i Laura Stefanowska,
III m. (25) - Kacper Gembara, Marek Komorowski, Wiktor Koropczuk i Joanna Lisiowska,
IV m. (24,5) - Konrad Litwiński,
V m. (19) - Julia Mazur.
VI m. (18,5) - Franciszek Stepek i Kajetan Walawski.
Gratulujemy!
Zad.1. Łatwo sprawdzić, że wszystkie potęgi 10 dają resztę z dzielenia przez 3 równą 1 (dlaczego?). Pozostaje do rozpatrzenia liczba 4n–2. Ona daje z dzielenia przez 3 resztę 2, bo zauważmy, że liczba od niej o 1 większa dzieli się przez 3. Mamy 4n–2+1 = 4n–1 = (2n–1)(2n+1). Wśród trzech kolejnych liczb jedna jest zawsze podzielna przez 3, natomiast wśród kolejnych liczb 2n–1, 2n i 2n+1 na pewno 2n nie dzieli się przez 3, zatem dzieli się na pewno jedna z pozostałych, co kończy dowód.
Zad. 2. Wystarczy zaobserwować, że 112 = 121, 1112 = 12321 i dalej ta zależność się powtarza. Szukanymi liczbami mogą być np.
1111111112 = 12345678987654321 i
11111111101111111112 = 1234567899012345679765432098987654321.
Zad. 3. Nie w każdym czworokącie tak jest. Weźmy czworokąt o bokach długości 1, 1, 2 i 3. Taki czworokąt istnieje, bo suma długosci każdych trzech boków jest większa od długości czwartego boku. Natomiast łatwo sprawdzić, że żadna trójka jego boków nie spełnia nierówności trójkąta.
