Zad. 1. Suma każdych trzech kolejnych spośród 2016 liczb zapisanych w rzędzie jest równa 100. Wyznacz wszystkie te liczby, jeśli pierwsza z nich jest równa 11, a ostatnia 12.
Zad. 2. Liczba sześciocyfrowa z cyfrą jedności równą 5 jest czterokrotnie mniejsza od liczby, która powstanie z przeniesienia tej cyfry na początek. Jaka to liczba?
Zad. 3. Udowodnij, że pole prostokąta o bokach równoległych do przekątnych kwadratu, w którym znajduje się ten prostokąt, jest nie większe od połowy pola tego kwadratu.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3- Przemysław Rybarczyk G Integracyjne Stargard i Laura Stefanowska G im. św. Franciszka z
Asyżu Legnica; - 2,5 - Jakub Dobrzański G 3 Lubin, Oliwia Kropidłowska G 1 Wrocław, Joanna Lisiowska KZE Warszawa, Konrad Litwiński G 86 Warszawa, Krzysztof Mach G 52 Kraków i Kajetan Walawski G Leżajsk;
- 2 - Kacper Gembara G w ZSS Wołów i Marek Komorowski G 3 Żory;
- 1,5 - Wiktor Koropczuk G 3 Gorzów Wielkopolski, Julia Mazur G Lewin Brzeski, Karolina Mielczarek G Lewin Brzeski i Katarzyna Siomka G Lewin Brzeski.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1,5 punktu.
Po ośmiu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 23,5 pkt. (na 24 możliwych) prowadzą: Jakub Dobrzański, Oliwia Kropidłowska i Przemysław Rybarczyk. Drugie miejsce z wynikiem 23 pkt. zajmuje Laura Stefanowska. Trzecie miejsce z wynikiem 22,5 pkt. zajmuje Wiktor Koropczuk. Gratulujemy!
Zad. 1. Oznaczmy drugą i trzecią liczbę odpowiednio przez a i b. Wtedy 11+a+b = 100, czyli a+b = 89. Suma drugiej, trzeciej i czwartej liczby też jest równa 100, więc czwarta liczba to 11. W podobny sposób można pokazać, że zaczynając od pierwszej liczby, każda co trzecia liczba to 11. Ponieważ mamy 672 trójki liczb (2016 = 3·672), to ostatnia trójka jest postaci 11, c, 12, czyli c=77, bo 11+77+12 = 100. Podobnie jak wcześniej można pokazać, że czwarta od końca i każda co trzecia liczba to 12, zaczynając od trzeciej. Analogicznie pokazujemy, że co trzecia liczba jest równa 77, zczynając od drugiej.
Stąd szukane liczby to 11, 77, 12, 11, 77, 12, ..., 11, 77 i 12.
Zad. 2. Niech x oznacza pięciocyfrową liczbę utworzoną z szukanej liczby po odrzuceniu cyfry jedności równej 5. Wtedy wystarczy rozwiązać równanie 4·(x·10+5) = 5·100000+x. Rozwiązując je, dostanemy x=12820, czyli szukana liczbą jest 128205.
Zad. 3. Zauważmy, że wierzchołki prostokąta muszą leżeć na bokach kwadratu. Jeśli by tak nie było, to zawsze można by znaleźć prostokąt o polu większym, przedłużając odpowiednie boki tak, aby jego wszystkie wierzchołki leżały na bokach kwadratu. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że kwadrat ten ma bok długości 1. Oznaczmy długość odcinków, na jakie wierzchołek prostokąta dzieli bok kwadratu przez a i 1–a. Wtedy boki prostokąta mają długości a√2 i (1–a)√2, czyli jego obwód jest stały i wynosi 2√2. Pole prostokąta o zadanym obwodzie jest największe, gdy jest on kwadratem (jak to pokazać?). Zatem w naszym przypadku, gdy bok jest równy √2/2. Wtedy jego pole jest równe 1/2, czyli jest nie większe od połowy pola kwadratu.
