Zad. 1. Rozwiąż równanie: |x–1|·|x+2|·|x–3| = |x+1|·|x–2|·|x+3|.
Zad. 2. Niech s(n) oznacza sumę cyfr liczby naturalnej n, a i(n) - ich iloczyn. Wyznacz wszystkie dodatnie całkowite liczby k, dla których s(k)+i(k)= k.
Zad. 3. Każdą z cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zapisano na dwóch kartkach. Rozstrzygnij, czy można tak rozmieścić te kartki w jednym rzędzie, by między dwiema kartkami z zapisaną na nich cyfrą k, leżało dokładnie k innych kartek.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
Szymon Michalik (XIV LO Warszawa): 10 + 10 + 10 = 30
Jan Kropidłowski (III LO Wrocław): 10 + 10 + 10 = 30
Mateusz Jagoda (ZSO Kluczbork): 9 + 10 + 10 = 29
Punktacja całkowita w tej edycji Ligi prezentuje się następująco:
Mateusz Jagoda (ZSO Kluczbork): 265
Jan Kropidłowski (III LO Wrocław): 240
Szymon Michalik (XIV LO Warszawa): 201
Danuta Wroniszewska (I LO Jelenia Góra): 150
Gratulacje!
Zad. 1. Korzystając z multiplikatywności wartości bezwzględnej, możemy zapisać równanie równoważnie jako |(x–1)(x+2)(x–3)| = |(x+1)(x–2)(x+3)|. Teraz rozpatrujemy dwa przypadki.
a) x3–2x2–5x+6 = x3+2x2–5x–6, co po uproszczeniu daje 4x2=12, zatem x=√3 lub x=-√3.
b) x3–2x2–5x+6 = -x3–2x2+5x+6, co daje 2x(x2–5)=0, czyli x=0 lub x=√5, lub x=-√5.
Zad. 2. Zauważmy, że dla liczby jednocyfrowej n zachodzi s(n) = i(n) = n, zatem szukana liczba nie może być jednocyfrowa. Dla pozostałych s(n)<n, zatem musi być i(n) > 0. Oznacza to, że wszystkie cyfry n muszą być różne od 0. Możemy zapisać k–s(k)–i(k) = am10m+...+a0 –
(am + ... + a0) – am...a0 = (10m–1–am-1...a0)am + (10m-1–1)am-1 + 9a1 ≥ (10m–1–9m)am ≥ 0, przy czym równość zachodzi wyłącznie dla m=1. Stąd musi być k = 10a1+a0 = a1+a0+a1a0, czyli a1(9–a0) = 0. Jednak cyfry liczby k są różne od zera, więc jedyne możliwości to 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 lub 99.
Zad. 3. Rozstrzygnięcie jest nagatywne. Rozłóżmy bowiem kartki zgodnie z warunkami zadania i ponumerujmy kolejne miejsca. Oznaczmy przez ak, bk, miejsca na których leżą kartki z liczbą k, przy czym ak < bk. Zauważmy, że w każdej parze {a0, b0}, {a2, b2}, ..., {a8, b8} znajdują się liczby o różnej parzystości (bo liczby w parze {ak, bk} dla k parzystych różnią się o k+1). Mamy więc 5 liczb nieparzystych i 5 parzystych. W parach {a1, b1}, ..., {a7, b7}, {a9, b9} liczby mają tę samą parzystość. Wobec tego wśród liczb 1, ..., 20 mielibyśmy nieparzystą liczbę liczb nieparzystych i nieparzystą liczbę liczb parzystych, co jest niemożliwe, gdyż jest ich po 10.
