Zad. 1. W turnieju ping-ponga, w którym każdy zawodnik grał z każdym, uczestniczyli zawodnicy polscy i chińscy. Po zakończeniu turnieju okazało się, że każdy uczestnik połowę uzyskanych punktów zdobył, grając z zawodnikami chińskimi. Za zwycięstwo zawodnik otrzymuje 1 punkt, za przegraną 0, remisów zaś nie było. Udowodnij, że liczba wszystkich uczestników turnieju była kwadratem liczby naturalnej.
Zad. 2. Niech P(X) będzie trójmianem kwadratowym o współczynnikach całkowitych. Niech f będzie funkcją wielomianową określoną dla całkowitych n jako f(n) = P(1) + P(2) + ... + P(n). Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej k liczba f(k) + f(k+4) jest parzysta.
Zad. 3. Dodatnie liczby rzeczywiste x, y spełniają równość x + y = 2√(xy+25). Udowodnij, że co najmniej jedna z nich nie jest wymierna.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- Szymon Michalik (XIV LO Warszawa): 10 + 10 + 10 = 30,
- Mateusz Jagoda (ZSO Kluczbork): 10 + 10 + 9 = 29,
- Jan Kropidłowski (III LO Wrocław): 0 + 10 + 10 = 20,
- Danuta Wroniszewska (I LO Jelenia Góra): 0 + 10 + 10 = 20.
Gratulacje!
Zad. 1. Niech x oznacza liczbę zawodników chińskich, a y polskich. Chińczycy w meczach między sobą zdobyli ½x(x–1) punktów, a w spotkaniach z Polakami ½xy punktów. Podobnie obliczamy punkty Polaków. Wobec tego mamy ½x(x–1) + ½y(y–1) = xy. Po pomnożeniu obu stron równania przez 2 i przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę zauważamy wzór skróconego mnożenia, a po jego zastosowaniu mamy (x–y)2–x–y = 0. Wobec tego x+y jest kwadratem liczby naturalnej.
Zad. 2. Zauważmy, że f(k) + f(k+4) = 2f(k) + [P(k+1)+P(k+2)+P(k+3)+P(k+4)]. Wobec tego wystarczy, aby wyrażenie w kwadratowym nawiasie było parzyste. Niech P(x) = ax2+bx+c. Po podstawieniu i uproszczeniu możemy zapisać: P(n+2)–P(n) = 2(2an+2a+bn). W szczególności liczby P(n+2) i P(n) są tej samej parzystości, a zatem ich suma jest parzysta. Wobec tego P(k+1)+P(k+3) jest parzyste, podobnie jak P(k+2)+P(k+4), czyli suma P(k+1)+P(k+2)+P(k+3)+P(k+4) też jest parzystA, co kończy dowód.
Zad. 3. Podnosimy równość obustronnie do kwadratu i przenosimy zmienne na jedną, a stałe na drugą stronę. Wówczas po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia otrzymamy: (x–y)2 = 128. Wobec tego |x–y| = 8√2. Jeżeli liczby x i y byłyby wymierne, to taka byłaby również liczba |x–y|, co nie ma miejsca. Wobec tego co najmniej jedna z liczb x, y musi być niewymierna.
