Zad. 1. Czy wartość wyrażenia $$\frac{\frac{(-2)^{2013}}{3^{123}}+\frac{2^{2014}}{3^{321}}}{\frac{-2013}{(-2)^{-2013}}}\cdot\frac{\frac{2^{-321}}{(-3)^{-123}}-\frac{3^{222}}{(-2)^{321}}}{\frac{(-7)^{-321}}{(-5)^{-2013}\cdot3^{-123}}}$$ jest ujemna? Uzasadnij!
Zad. 2. Podstawa trapezu o ramionach długości 15 i 20 i wysokości 12 ma długość 50. Jaką długość może mieć druga podstawa?
Zad. 3. Przez jakie liczby pierwsze może się dzielić suma sześciu kolejnych naturalnych potęg dwójki? Uzasadnij!
W grudniu rozwiązanie zad. 1 i 3 nie sprawiło większych trudności Ligowiczom, ale obniżaliśmy punktację za błędy i braki w opisach ich rozwiązań. W zad. 2 wiele osób zauważyło tylko dwie możliwe sytuacje.
Komplet 3 pkt uzyskał tylko Bartosz Czyżewski, natomiast po 2,5 pkt - Klaudia Marcinkiewicz, Maciej Pająk i Mateusz Rzepecki.
W sumarycznym rankingu Ligi prowadzą teraz:
- z 9 pkt (na 9 możliwych!) - Bartosz Czyżewski z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze,
- z 8,5 pkt - Klaudia Marcinkiewicz z Gim. 24 w Katowicach,
- z 7,5 pkt - Michał Stempniak z Gim. s. Salezjanek w Ostrowie Wlkp.,
- z 7 pkt - Joanna Lisiowska z Kat. Zesp. Edukacyjnego im P. Skargi w Warszawie i Maciej Pająk z Gim. 13 we Wrocławiu,
- z 6,5 pkt - Wojciech Wiśniewski z Gim. 3 w Giżycku,
- z 6 pkt - Szymon Drzazga z Gim. 2 w Wadowicach.
Wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. Dane wyrażenie ma wartość $$\frac{\frac{2^{2013}}{3^{123}}\cdot(-1+\frac{2}{3^{198}})}{-2013\cdot(-2)^{2013}}\cdot\frac{-\frac{3^{123}}{2^{321}}+\frac{3^{222}}{2^{321}}}{\frac{(-5)^{2013}\cdot3^{123}}{(-7)^{321}}}.$$ Mianowniki obu ułamków przedstawiają wartości dodatnie, licznik pierwszego - ujemną, a drugiego - dodatnią. Cała wartość jest więc ujemna.
Zad. 2. Oba ramiona mogą tworzyć z daną podstawą niezależnie od siebie kąt ostry lub rozwarty. Podane zależności są zatem spełnione w czterech sytuacjach:
I - oba kąty ostre - wówczas druga podstawa ma długość 50-(9+16)=25,
II - oba kąty rozwarte - wówczas druga podstawa ma długość 50+(9+16)=75,
III - kąt między daną podstawą a ramieniem 15 ostry, a między podstawą a drugim ramieniem rozwarty - wówczas druga podstawa ma długość 50-9+16=57,
IV - kąt między daną podstawą a ramieniem 15 rozwarty, a między podstawą a drugim ramieniem ostry - wówczas druga podstawa ma długość 50+9-16=43.
Zad. 3. Chodzi o wartość 2n+2n+1+2n+2+...+2n+5=2n·63. Jedynymi dzielnikami pierwszymi tej liczby są 3, 7 i zazwyczaj (przy n>0) 2.
