Zad. 1. Palindromiczne liczby stucyfrowe uporządkowano malejąco. Jaka stoi na milionowej pozycji?
Zad. 2. W sześcianie ABCDA'B'C'D' (ABCD to ściana, a odcinki AA', BB', CC' i DD' są krawędziami) P jest pewnym wewnętrznym punktem A'D', a Q - pewnym wewnętrznym punktem BB'. Czy odcinki BP i DQ mogą się przecinać? Uzasadnij!
Zad. 3. Podczas apelu po jednej stronie korytarza ustawiło się o 35% więcej uczniów niż po drugiej, więc 45% z nich przeszło na drugą stronę. Ile co najmniej uczniów brało udział w apelu?
Z zadaniami listopadowymi większość Ligowiczów poradziła sobie lepiej niż z październikowymi. Komplet 3 pkt przyznaliśmy: Bartoszowi Czyżewskiemu, Mieszkowi Gałatowi, Joannie Lisiowskiej, Klaudii Marcinkiewicz i Michałowi Stempniakowi.
Po dwóch miesiącach tegorocznej edycji Ligi Gimnazjalnej jej czołówkę stanowią:
- z 6 pktami (na 6 możliwych!) - Bartosz Czyżewski z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze i Klaudia Marcinkiewicz z Gim. 24 w Katowicach,
- z 5,5 pkt - Mieszko Gałat Gim. 50 w Bydgoszczy i Michał Stempniak z Gim. s. Salezjanek w Ostrowie Wlkp.,
- z 5 pkt - Joanna Lisiowska z Kat. Zesp. Edukacyjnego im P. Skargi w Warszawie.
Gratulujemy wszystkim!
Zad. 1. Stucyfrową liczbę palindromiczną możemy określić, podając dowolną liczbę 50-cyfrową jako pierwszą połowę jej zapisu. (Druga połowa jest już jednoznaczna, aby zachodziła palindromiczność). Ponieważ te pierwsze połowy ustalają zarazem kolejność całych palindromów, wystarczy stwierdzić, jaka jest milionowa liczba o 50 cyfrach przy uporządkowaniu ich malejąco. Jest to 999...99000000, gdzie dziewiątek jest 44, zatem odpowiedź to liczba, której zapis składa się kolejno z 44 dziewiątek, 12 zer i 44 dziewiątek.
Zad. 2. Odcinek DQ leży w płaszczyźnie BB'D'D, a BP ma na niej tylko punkt B, który nie należy do DQ, zatem odcinki te się nie przecinają.
Zad. 3. Jeśli liczbę uczniów z tej strony, gdzie początkowo było ich mniej, oznaczyć jako x, to x powinno być najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, taką że liczbami całkowitymi są 1,35x, czyli 27x/20, oraz 0,45·1,35x, czyli 243x/400. Takim x jest 400, zatem w apelu brało udział co najmniej 400+27·400/20=940 uczniów.
