grudzień 2021

Zad. 1.
a) Zasadnicze twierdzenie arytmetyki (ZTAr) zwane też twierdzeniem o jednoznaczności rozkładu mówi, że rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze jest jedyny. Twierdzenie to pojawia się pojawia się w IX księdze Elementów Euklidesa (III w. p.n.e.). Zostało udowodnione przez Karola Gaussa (opublikowane w Disquisitiones Arithmeticae w 1801).

b) Zasadnicze twierdzenie algebry (ZTAl) mówi, że wielomian stopnia n ma w dziedzinie zespolonej dokładnie n pierwiastków. Zostało sformułowane przez matematyka francuskiego Alberta Girarda w 1620. Pierwszy pełny dowód podał Karol Gauss w swojej rozprawie doktorskiej w 1799. Wcześniej podawane dowody (m. in. przez d’Alemberta 1746, Eulera 1749, Foncenexa 1759, Lagrange’a 1772, Laplace’a 1795, Wooda 1798) były błędne lub niekompletne.

c) Zasadnicze twierdzenie analizy (ZTAn) zwane też zasadniczym twierdzeniem rachunku różniczkowego i całkowego albo twierdzeniem Newtona-Leibniza mówi, że operacje różniczkowania i całkowania są wzajemnie odwrotne. Twierdzenie to znał Isaac Barrow - nauczyciel Newtona, a pierwszy dowód podał szkocki matematyk James Gregory w książce Geometriae Pars Universalis (1668). Sformalizowali je niezależnie i szczegółowo opisali Issac Newton i Gottfried Leibniz.

d) Zasadnicze twierdzenie geometrii (ZTG) zwane też najmocniejszym twierdzeniem geometrii, twierdzeniem o odcinkach stycznych albo (w żargonie szkolnym) twierdzeniem "o lodzie" mówi, że odcinki stycznych poprowadzonych do danego okręgu z punktu leżącego na zewnątrz okręgu mają jednakowe długości (innymi słowy: kąt z wpisanym okręgiem jest figurą osiowosymetryczną). Jest to szczególny przypadek ogólnego twierdzenia o potędze punktu względem okręgu (pojęcie wprowadzone przez Jakoba Steinera w 1826). Dowód ZTG przypisuje się Talesowi z Miletu (VI w. p.n.e.), na pewno było znane w czasach Euklidesa IV/III w. p.n.e.

Zad. 2.

a) Kraków - W 1921 roku ukazało się czasopismo "Rozprawy Polskiego Towarzystwa Matematycznego" od 1922 wydawane pod nazwą "Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego", a po kolejnym roku pod tą samą nazwą w języku francuskim "Annales de la Société Polonaise de Mathématique". Ukazywało się do 1952 z przerwą w latach 1939-1944. Redaktorem był Stanisław Zaremba. Czasopismo drukowało oryginalne prace z różnych dziedzin matematyki w językach kongresów międzynarodowych (francuski,niemiecki, później angielski), recenzje nowych publikacji matematycznych oraz kronikę Towarzystwa (w niej m.in. dokumenty dotyczące jego działalności np. statut, sprawozdania, protokoły). Do wybuchu II wojny światowej ukazało się 17 tomów Annales, do roku 1952 - 25 tomów. Wyszło też kilka zeszytów dodatków do Annales zawierających rozprawy ogłaszane w języku polskim. W 1953 wszystkie wydawnictwa matematyczne PTM zostały przejęte przez Instytut Matematyczny PAN i wówczas na bazie Annales utworzono nowe czasopismo Annales Polonici Mathematici, którego pierwszy numer ukazał się w 1954 i wychodzi obno do dziś. Natomiast PTM publikuje obecnie czasopismo "Annales Societatis Mathematicae Polonae" w sześciu seriach: Commentationes Mathematicae (Prace Matematyczne), Wiadomości Matematyczne (jedyna seria wydawana w języku polskim), Mathematica Applicanda (Matematyka Stosowana), Fundamenta Informaticae (Podstawy Informatyki), Didactica Mathematicae (Dydaktyka Matematyki) i Antiquitates Mathematicae (Historia Matematyki, dosł. Starożytności Matematyczne).

Czasopismo "Opuscula Mathematica" (Broszury/Prace Matematyczne) zostało założone w 1937 przez matematyka z AGH, pierwszego rektora tej uczelni i współzałożyciela PTM Antoniego Hoborskiego. Było poświęcono matematyce stosowanej. Wychodziło do 1939, a jego wydawanie wznowiono w 1968 pod nowym tytułem "Prace Matematyczne", a do oryginalnego tytułu powrócono w 1984. Jest nadal wydawane przez AGH w Krakowie.

b) Lwów - Czasopismo "Studia Mathematica" stworzone przez Stefana Banacha i Hugona Steinhausa było poświęcone tylko jednej gałęzi matematyki - analizie funkcjonalnej. Wychodziło w latach 1929-1940. Po wojnie od 1948 wychodziło we Wrocławiu, od 1961 wydawane jest przez Instytut Matematyki PAN w Warszawie.

c) Warszawa - Czasopismo "Fundamenta Mathematicae" założone w 1920 przez Zygmunta Janiszewskiego, Stefana Mazurkiewicza i Wacława Sierpińskiego publikowało prace z zakresu podstaw matematyki tzn. teorii mnogości i jej zastosowań. Czasopismo "Acta Arithmetica" zostało założone przez Salomona Lubelskiego i Arnolda Walfisza w 1935. Było poświęcone wyłącznie teorii liczb. Ukazywało się do 1939, wznowiono je w 1958. Oba te czasopisma są obecnie wydawane przez Instytut Matematyki PAN.

Czasopismo "Prace Matematyczno-Fizyczne" zostało założone przez Samuela Dicksteina w 1888. Ukazywało się do roku 1951, a od 1955 jego tradycja jest kontynuowana przez "Commentationes Mathematicae" (Prace Matematyczne) wydawane jako I seria roczników przez PTM. Także czasopismo "Wiadomości Matematyczne" zostało założone przez Dicksteina w 1897. Do roku 1939 ukazało się 47 tomów. Po wojnie zostało reaktywowane w 1955 i jest wydawane przez Polskie Towarzystwo Matematyczne jako II seria roczników.

Zad. 3. Paradoks to twierdzenie prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. Poza brakiem rozróżnienia między językiem i metajęzykiem (paradoksy samoodniesienia: kłamcy, krokodyla) przyczyną powstawania paradoksów może być:

• błędne sformułowanie twierdzenia (niejednoznaczne, nienaukowe, sprzeczne wewnętrznie), np. paradoksy: łysego, rogacza, kota i kromki chleba, Abilene,
• przyjęcie błędnych założeń (wówczas w wyniku poprawnego rozumowania można dojść do fałszywych wniosków), np. paradoksy: więźnia, Fermiego, dziadka, Zenona z Elei, wstęgi Möbiusa, probabilistyczne paradoksy geometryczne,
• przyjęcie błędnej metodologii badań, np. paradoksy statystyczne: Berksona, Lorda, Simpsona, Steina, niskiej masy urodzeniowej
• niedoskonałość intuicji (wówczas mamy pozorną sprzeczność ze zdrowym rozsądkiem), np. paradoksy: hotelu Hilberta (pojęcie mocy), krzywej Hilberta (pojęcie wymiaru), Monty'ego Halla, wspólnych urodzin, chłopca i dziewczynki, pudełka Bertranda (pojęcie prawdopodobieństwa), równika, linii brzegowej (pojęcie długości),
• przypisywanie obiektom matematycznym (geometrycznym) właściwości fizycznych, np. gęstość prostej, kostka Mengera, dzika sfera, róg Gabriela, rozkład kuli Banacha-Tarskiego (podział figury na rozłączne części nie musi zachowywać miar tych figur).