Zad. 1. Państwo Nowakowie mają dwie córki i dwóch synów. Średnia wieku córek jest większa niż 25 lat, a średnia wieku kobiet w tej rodzinie jest mniejsza niż 32 lata. Średnia wieku synów jest mniejsza niż 20 lat, natomiast średnia wieku mężczyzn w tej rodzinie jest większa niż 33 lata. Kto jest starszy mama czy tato? Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 2. W stukącie foremnym ponumerowano kolejno boki liczbami od 1 do 100. Jaką miarę ma kąt ostry między prostymi zwierającymi 33. i 44. bok?
Zad. 3. Wyznacz wszystkie trójkąty prostokątne, w których długości boków są liczbami naturalnymi, a pole trójkąta jest równe liczbowo jego obwodowi (długości boków oraz obwód trójkąta mają być wyrażone w tych samych jednostkach, a pole w tychże jednostkach kwadratowych).
W grudniu punkty zdobyli:
- 3 – Adam Chowanek III LO Wałbrzych, Wojciech Domin III LO Wrocław, Rafał Górzyński I LO Lubin, Wiktoria Prokop II LO Głogów, Wojciech Raszczuk I LO Bolesławiec, Tomasz Smołka I LO Kraków ,Karolina Szymandera I LO Inowrocław, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Igor Wojtasik I LO Jelenia Góra;
- 2 – Emilia Cichowska II LO Lubin;
- 1 – Kamil Pulik LO Międzyrzec Podlaski, Maja Purzyńska II LO Oleśnica, Aleksandra Uhryniuk XX LO Łodź, Ivanechko Volodymyr ZS Gorzyce.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy przez t wiek taty, przez m - wiek mamy, przez c1, c2, s1, s2 – wiek córek i synów. Mamy ½(c1+c2) > 25, więc c1+c2 > 50, ponadto 1/3(c1+c2+m) < 32, więc c1+c2+m < 96. Z tego wynika, że 96 > c1+c2+m > 50+m, czyli m < 96–50, zatem m < 46. Mamy też 1/2(s1+s2) < 20, więc s1+s2 < 40, ponadto s1+s2+t > 33, wiec s1+s2+t > 99. Z tego wynika, że 99 < s1+s2+t < 40+t, czyli t > 99–40, zatem t > 59. Tato jest starszy od mamy.
Zad. 2. Niech S będzie środkiem okręgu opisanego na stukącie foremnym. Poprowadźmy dwa promienie do wierzchołów stukąta, tak aby wyznaczyły najmniejszy z możliwych wycinków koła zawierających oba wybrane boki. Niech tymi wierzchołkami będą punkty A i B, a przez X oznaczmy punkt przecięcia prostych opisanych w treści zadania. Stukąt można podzielić na 100 trójkątów równoramiennych, a w tym wycinku jest ich 12. Wynika stąd, że |∠ ASB| = 0,12.360° = 43,2°. Z podziału stukąta na 100 trójkątów równoramiennych wynika, że kąt XAS, który jest kątem przy podstawie trójkąta, ma miarę (180°–0,01.360°):2 = 88,2°. Z tego wynika, że |∠ AXB| = 360°–(43,2°+2.88,2°) = 140,4°. Kąt ostry między prostymi opisanymi w zadaniu ma miarę 280°–140,4° = 39,6°.
Zad. 3. Oznaczmy przez a i b przyprostokątne trójkąta, a przez c – jego przeciwprostokątną. Na podstawie warunków zadania otrzymujemy dwie równości: a2+b2 = c2 oraz a+b+c = 1/2ab. Z drugiej wyznaczmy c i podnieśmy obie strony tej równości do kwadratu. Wówczas c2 = (1/2ab–a–b)2. Po podstawieniu tego do pierwszej równości otrzymamy a2+b2 = (1/2ab–a–b)2, co doprowadzamy do postaci ab–4a–4b+16 = 8, skąd a(b–4) – 4(b–4) = 8, czyli (a–4)(a+4) = 8. Liczby a i b są naturalne, mamy więc następujące możliwości: a–4=1 i b–4=8, skąd a=5, b=12, lub a–4=2 i b–4=4, skąd a=6 i b=8. Otrzymujemy zatem dwa trójkąty prostokątne o bokach a=6, b=8, c=10 oraz a=5, b=12, c=13 spełniające warunki zadania.
