Zad. 1. Na jesiennej wyprzedaży Małgosia kupiła markową bluzkę, pasek, czapkę i spinkę. Za te zakupy zapłaciła niespełna 100 zł. Ile co najwyżej kosztowała każda z zakupionych rzeczy, jeśli wiadomo, że bluzka była o 2 zł droższa niż dwie czapki, czapka była o 3 zł droższa niż 3 paski, a pasek był o 4 zł droższy niż 4 spinki?
Zad. 2. Ile istnieje trójkątów różnego kształtu (tzn. niepodobnych) mających boki o długościach wyrażonych całkowitymi liczbami centymetrów, z których jedna jest jednocyfrowa, druga - dwucyfrowa, a trzecia - trzycyfrowa?
Zad. 3. Obracając kwadrat wokół jednej z jego osi symetrii, wyznaczono walec. Obracając trójkąt równoboczny o polu równym polu kwadratu wokół jednej z osi symetrii, wyznaczono stożek. Która z tych brył ma większą objętość?
W listopadzie punkty zdobyli:
- 3 – Emilia Cichowska II LO Lubin, Julia Leśniak LO Brzeg Dolny, Wiktoria Prokop II LO Głogów, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław;
- 2 – Kamila Bilska II LO Olesnica, Adam Chowanek III LO Wałbrzych, Piotr Chybalski ZSP Kleszczów, Wojciech Domin III LO Wrocław, Rafał Górzyński I LO Lubin, Bartosz Kaczor I LO Głogów, Wojciech Lenartowicz II LO Oleśnica, Wojciech Raszczuk I LO Bolesławiec, Tomasz Smołka I LO Kraków;
- 1 – Karol Czajka II LO Olesnica, Hubert Kosmala II LO Oleśnica, Kamil Pulik LO Międzyrzec Podlaski, Maja Purzyńska II LO Oleśnica, Igor Wojtasik I LO Jelenia Góra, Igor Wojtun I LO Głogów.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy przez t, x, y, z odpowiednio cenę bluzki, czapki, paska i spinki. Z treści zadania wynika, że t = 2+2x, x = 3+3y, y = 4+4z. Po przekształceniu tych wyrażeń otrzymamy: y = 4+4z, x = 15+12z i t = 32+24z. Ponieważ Małgosia zapłaciła niespełna 100 zł, zachodzi t+x+y+z < 100, czyli 32+24z+15+12z+4+4z+z < 100. Z tego wynika, że z ≤ 18/41, czyli z ≤ 1,19 zł. Stąd y ≤ 8,76 zł, x ≤ 29,28 zł, a t ≤ 60,56 zł. Zatem spinka kosztowała nie więcej niż 1,19 zł, pasek - nie więcej niż 8,76 zł, czapka - nie więcej niż 29,28 zł, a bluzka - nie więcej niż 60,56 zł.
Zad. 2. Niech a, b, c to długości boków trójkąta takie, że 1 ≤ a ≤ 9, 10 ≤ b ≤ 99, c ≥ 100 oraz c < a+b. Wówczas c < 99+9 = 108, zatem 100 ≤ c ≤ 107. Najdłuższy bok trójkąta może zatem mieć 107, 106, 105, 104, 103, 102, 101 lub 100 centymetrów. Dla c=107 otrzymujemy jeden trójkąt o bokach (107, 99, 9), dla c=106 mamy trzy trójkąty o bokach (106, 99, 9), (106, 99, 8) lub (106, 98, 9). Rozpatrując analogicznie możliwe trójkąty dla c=105, 104, 103, 102, 101 i 100, otrzymujemy odpowiednio 6, 10, 15, 21, 28 i 36 różnych trójkątów. Łączna liczba możliwych trójkątów to 1+3+6+10+15+21+28+36 = 120.
Zad. 3. Oznaczmy przez p pole kwadratu i pole trójkąta równobocznego, przez a - długość boku kwadratu, a przez k - długość boku trójkąta równobocznego. Objętość walca
[tex]\ V_w = \pi \cdot (\frac {a}{2})^2 \cdot a= \frac{\pi}{4} \cdot a^3= \frac {\pi}{4} \cdot p\sqrt{p}=\frac{1}{4}\cdot\pi\cdot p\sqrt{p}[/tex].
Z równości [tex] \frac{k^2 \sqrt{3}}{4}[/tex] wyznaczamy [tex] k = \frac{2\sqrt{p}}{\sqrt[4]{3}}[/tex].
Objętość stożka [tex] V_s = \frac{1}{3}\pi\cdot(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt[4]{3}})^2\cdot\frac{\frac{2\sqrt{p}}{\sqrt[4]{3}}\cdot\sqrt{3}}{2} =\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\cdot\pi\cdot p\sqrt{p}[/tex] .
Do porównania objętości wystarczy porównać dodatnie liczby [tex] \frac{1}{4}[/tex] i [tex] \frac{1}{3 \sqrt[4]{2}}[/tex]. Porównajmy ich czwarte potęgi:
[tex] (\frac{1}{4})^4=\frac{1}{256}[/tex] i [tex] (\frac{1}{3 \sqrt[4]{2}})^4=\frac{1}{243}[/tex].
Ponieważ [tex] \frac{1}{256}<\frac{1}{243} [/tex], zachodzi [tex] \frac{1}{4}< \frac{1}{3 \sqrt[4]{3}}[/tex], więc Vw < Vs.
