Zad. 1. Udowodnij, że jeśli dla całkowitego k liczba k2–1 jest parzysta, to dzieli się przez 8.
Zad. 2. Dwa przystające prostopadłościany sklejamy w jeden na wszystkie możliwe sposoby. Oznaczmy największe z pól powierzchni otrzymanych prostopadłościanów przez P0, a najmniejsze przez P1. Jakie wartości może przyjmować stosunek P0:P1? Uzasadnij!
Zad. 3. Wykaż, że jedynym dodatnim pierwiastkiem wielomianu 8x3–6x–1 jest cos20°.
Prawie bezbłędne rozwiązania zadań kwietniowych przysłali tylko Dariusz Kajtoch i Rafał Chojna. Przyznajemy im po 2,5 pkt., bo podobnie jak większość pozostałych Ligowiczów nie wspomnieli nawet o tym, że stosunek z zad. 2 może przyjąć wszystkie wartości z przedziału [1,2). (Przy okazji: z zapisu [tex]\frac{P_0}{P_1}\in [1,2)[/tex] wcale to nie wynika!)
Czołówkę Ligi stanowią teraz: (Przepraszamy za błędy w dotychczasowej punktacji!)
- z 20 pkt. (na 21 możliwych!) - Dariusz Kajtoch z PZ nr 2 w Oświęcimiu,
- z 19 pkt. - Rafał Chojna z LO im. Królowej Jadwigi w Lublinie,
- z 14,5 pkt. - Justyna Wozowczyk z I LO w Lubinie.
Gratulujemy!
Zad. 1. Dla k parzystych k2–1 jest nieparzysta, w zadaniu musi więc być k=2m–1 dla pewnego całkowitego m. Mamy zatem: k2–1 = 4m2–4m = 4m(m–1), a że m i m–1 to kolejne liczby całkowite, jedna z nich jest parzysta, więc 4m(m–1) dzieli się przez 8.
Zad. 2. Oznaczmy wymiary wyjściowych prostopadłościanów przez a, b, c, tak żeby a≥b≥c. Wówczas ab ≥ ac ≥ bc, więc P0=4ab+4ac+2bc, a P1=2ab+4ac+4bc, zatem P0:P1 = 1 + 2b(a–c)/P1 ≥ 1, przy czym jest to dokładnie 1, gdy a=c, czyli gdy w zadaniu sklejono dwa sześciany. Jednocześnie P0:P1 = 2 – 2c(2a+3c)/P1 < 2. Ponieważ wielkości a, b i c mogą przyjmować wszystkie wartości dodatnie, a wyrażenie P0/P1 zależy od nich w sposób ciągły (dowolnie mało się zmienia przy odpowiednio małych zmianach a, b i c), jego zbiór wartości to cały przedział [1,2). (Wartości dowolnie bliskie 2 przyjmuje dla c odpowiednio bliskich zera).
Zad. 3. Oznaczmy dany wielomian przez W. Zauważmy, że W(-0,5)>0, a W(0)<0. Ponieważ współczynnik przy x3 jest dodatni, oznacza to, że W ma jeden pierwiastek dodatni (co wynika z własności funkcji sześciennej). Obliczmy W(cos20°): 1/2 = cos60° = cos(3·20°) = cos(2·20°+20°) = (2cos220°–1)cos20°–2sin20°cos20°·sin20° = 2cos320°–cos20°–2cos20°(1–cos220°) = 4cos320°–3cos20°, zatem W(cos20°) = 2·1/2–1 = 0, co kończy dowód.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
