Zad. 1. Definiujemy działanie ♥ na liczbach naturalnych (z zerem): a♥b = 7, gdy ab=0, a w przeciwnym razie a♥b = (0♥b) + (c♥b), gdzie c jest resztą z dzielenia a przez b. Czy taka definicja pozwala obliczyć a♥b dla dowolnych a i b naturalnych?
Zad. 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwie losowo wybrane przekątne ścian graniastosłupa prawidłowego stukątnego będą równoległe?
Zad. 3. Na płaszczyźnie dane są cztery punkty, które są środkami boków czworokąta. Jakie wartości może przyjmować jego pole (w zależności od położenia tych punktów)?
Zadania z maja okazały się bardzo trudne. Najlepszy wynik, 1,5 pkt., należy do Rafała Chojny.
Miesiąc przed zakończeniem tegorocznych lig najwyższą punktację sumaryczną mają:
- 21 pkt. (na 24 możliwe!) - Dariusz Kajtoch z PZ nr 2 w Oświęcimiu,
- 20,5 pkt. - Rafał Chojna z LO im. Królowej Jadwigi w Lublinie.
Gratulujemy!!
Zad. 1. Podana definicja jest sprzeczna, ponieważ 1♥2 = (0♥2) + (1♥2) po odjęciu stronami 1♥2 daje 0=7.
Zad. 2. Rozróżnijmy trzy przypadki wyboru jednej przekątnej:
1) wylosowano jedną z 200 przekątnych ścian bocznych,
2) wylosowano którąś z 2·50·49 przekątnych podstaw równoległą do jednej z najdłuższych przekątnych podstaw,
3) wylosowano którąś z 2·50·48 przekątnych podstaw nierównoległych do żadnej najdłuższej przekątnej podstaw.
W przypadku 1) równoległa przekątna jest zawsze tylko jedna, w 2) - jest ich 2·49–1, w 3) - 2·48–1, szukane prawdopodobieństwo to więc (200·1+2·50·49·(2·49–1)+2·50·48·(2·48–1)) / ((200+2·100·97)(200+2·100·97–1)) = 100(2+49·97+48·95) / ((200·98)(200·98–1)) = 9315 / (196·19599) ≈ 0,24%.
Zad. 3. Wyjściowy czworokąt oznaczmy przez ABCD, a środki AB, BC, CD i DA oznaczmy kolejno przez K, L, M, N. Z podobieństw odpowiednich trójkątów wynika wówczas, że KN odcina z ABCD trójkąt o polu czterokrotnie mniejszym niż pole ABD, a LM - trójkąt o polu czterokrotnie mniejszym niż pole CBD. Oba te odcinki wycinają zatem ¼ pola całego wyjściowego czworokąta. Podobnie z odcinkami KL i MN, a zatem KLMN ma pole równe połowie pola czworokąta ABCD niezależnie od jego położenia!
