Zad. 1. Dane są liczby rzeczywiste a0, b0, c0. Tworzymy ciągi:
an=(bn–1+cn–1)/2, bn=(an–1+cn–1)/2, cn=(an–1+bn–1)/2.
Do czego dąży ciąg an? Uzasadnij!
Zad. 2. KOT jest trójkątem równoramiennym, którego kąt K jest rozwarty. Przez T poprowadzono prostopadłą do prostej OK przecinającą ją w T1, przez T1 prostopadłą do prostej TO przecinającą ją w T2, przez T2 prostopadłą do prostej OK przecinającą ją w T3, przez T3 prostopadłą do prostej TO przecinającą ją w T4 itd., aż okazało się, że T99=K. Ile wynosi kosinus kąta KOT?
Zad. 3. Podaj wszystkie funkcje f : R → R spełniające dla wszystkich rzeczywistych x i y zależność:
f (x2+f (y))=(x–y)2 · f (x+y).
Zadania z kwietnia były trudne i po 3 pkt przyznaliśmy jedynie Maciejowi Cebuli i Pawłowi Kotysiowi.
Aktualna czołówka Ligi to:
- z 17,5 pkt (na 21 możliwych) - Paweł Kotyś z I LO w Oleśnie,
- z 17 pkt - Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
- z 16,5 pkt - Maciej Cebula z I LO w Oleśnie,
- z 15,5 - Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy,
- z 13,5 pkt - Bartosz Pawliczak z LO w Górze.
Serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. an = (bn–1+cn–1)/2 = (2an–2+bn–2+cn–2)/4 = (2an–3+3bn–3+3cn–3)/8 = (6an–4+5bn–4+5cn–4)/16 =...
Kolejne mianowniki to 2k, a współczynniki w liczniku to (2k-1)/3 i (2k+2)/3 przy k parzystych i (2k+1)/3 i (2k-2)/3 przy k nieparzystych (co łatwo sprawdzić - kolejne są sumami par poprzednich, co wynika z definicji ciągów an, bn i cn). Mamy więc: an=xa0+yb0+zc0 przy x, y i z postaci (2n+t)/(3·2n), gdzie t to 1, 2, -1 lub -2. Przy n dążącym do nieskończoności x, y, z dążą zatem wszystkie do 1/3, więc an→(a0+b0+c0)/3.
Zad. 2. Przy oznaczeniu T przez T0 dla wszystkich i od 0 do 96 trójkąty TiTi+1Ti+2 i Ti+1Ti+2Ti+3 są podobne (są prostokątne i dzięki równoległości odpowiednich odcinków (prostopadłych do tej samej prostej) mają przystający jeden kąt ostry) w skali s=TiTi+1:Ti+1Ti+2 = T0T1/T1T2=1/sin(<OTT1), co ponieważ |<OTT1|=90°-|<KOT|, wynosi 1/cos(<KOT). Jednocześnie tg(<KTO)=T99T100/(T0T2+T2T4+T4T6+...+T98T100), gdzie T100 to rzut prostokątny T99 na OT. Dalej tg(<KTO)=(T0T1/s99)/(T0T2(1+1/s2+1/s4+...+1/s98))=T0T1/(T0T2·(s99+s97+...+s))=1/(scos(90°-|<KOT|)·(1+s2+s4+...+s98))=(1-s2)/(ssin(<KOT)·(1-s100)). Ponieważ |<KOT|=|<KTO| i cos(<KOT)=1/s, mamy dalej: s2sin2(<KOT)(1-s100)=1-s2 i dalej s2(1-1/s2)(s100-1)=s2-1, skąd ostatecznie (s>1): s=100√2, więc odpowiedzią jest odwrotność tej liczby.
Zad. 3. Zamieniając x na -x, otrzymamy to samo po lewej stronie, zatem dla wszystkich x i y zachodzi również równość (x–y)2·f(x+y)=(-x–y)2·f(-x+y)=(x+y)2·f(-x+y). Weźmy dowolne t$\in$R, x=t/2-1 i y=t/2+1. Mamy wówczas f(t)=t2f(1), zatem aby funkcja f(t) spełniała dane w zadaniu równanie, musi być postaci ct2. Po podstawieniu: c(x2+cy2)2=(x–y)2·c(x+y)2, czyli c(2(c+1)x2y2+(c2-1)y4)=0, co ma zachodzić dla wszystkich x i y, więc c=0 lub c=-1. Szukane funkcje to zatem f(t)=0 i f(t)=-t2.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
