Zad. 1. Wyrazy ciągu a spełniają warunek: an+1 = an/2 – 1. Podaj wartości a0, przy których pierwszym ujemnym wyrazem ciągu jest a100.
Zad. 2. Podaj przykład liczby niewymiernej leżącej pomiędzy 1/2012 a √2/2013. Uzasadniij, dokładnie formułując własności liczb wymiernych, z których korzystasz.
Zad. 3. Punkty (0, 0), (1, 0) i (0, 1) pokolorowano na niebiesko. Dozwolone operacje to poprowadzenie prostej zawierającej co najmniej dwa niebieskie punkty oraz pokolorowanie na niebiesko punktów przecięcia takich prostych i obrazów wszystkich niebieskich punktów w symetrii względem dowolnej poprowadzonej prostej. Czy dzięki tym operacjom da się pokolorować punkt (-2012, 1/2013)? Uzasadnij!
Za rozwiązania zadań marcowych komplet 3 pkt otrzymali tylko Maciej Cebula, Bartosz Pawliczak i Arkadiusz Wróbel. Wiele innych nadesłanych odpowiedzi było niepełnych.
W Lidze Szkół Ponadgimnazjalnych prowadzą teraz:
- z 15 pkt na 18 możliwych - Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
- z 14,5 pkt - Paweł Kotyś z I LO w Oleśnie,
- z 13,5 pkt - Maciej Cebula z I LO w Oleśnie i Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy,
- z 12 pkt - Bartosz Pawliczak z LO w Górze.
Gratulujemy wszystkim!
Zad. 1. Warunek a100<0 jest równoważny warunkowi a99<2, przy czym oczywiście chcemy także, by a99≥0. Dalej mamy więc, że a98 powinno być z [2, 6), a97 z [6, 14) itd., gdzie krańce kolejnych przedziałów powstają przez dodanie do poprzednich jedynki i podwojenie wyników. Ciąg, który w ten sposób powstaje, to jak łatwo sprawdzić, 2n-2, zatem odpowiedzią są liczby z [2100-2, 2101-2).
Zad. 2. Może to być (2013+√2)/(2012·2013) - jest niewymierna, bo liczby całkowite i ich iloczyny są wymierne, √2 jest niewymierny, niewymierna jest suma liczby wymiernej i niewymiernej oraz niewymierny jest iloraz liczby niewymiernej przez niezerową wymierną; w dodatku, jak widać, jest większa niż 2013/(2012·2013), a mniejsza niż 2015/(2012·2013) < 1,4·2012/(2012·2013) < 2012√2/(2012·2013). Innym przykładem może być 2013,01001000100001000001.../(2012·2013) - jak poprzednio można wykazać, że należy do właściwego przedziału, jest natomiast niewymierna jako iloraz liczby niewymiernej przez niezerową wymierną - iloczyn liczb całkowitych dodatnich. Niewymierność dzielnej da się uzasadnić dzięki twierdzeniu, że liczba jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub okresowe.
Zad. 3. Da się, a można to zrobić np. tak: prowadzimy prostą przez (0, 1) i (1, 0) i kolorujemy dzięki niej (1, 1), po czym prowadzimy prostą x=0. Dzięki tej ostatniej kolorujemy (-1, 0) i (-1, 1), prowadzimy przez nie prostą i dzięki niej kolorujemy (-2, 0) i (-2, 1), po czym operacjami takimi możemy uzyskać prostą x=-2012 i niebieski punkt (-2013, 0). Łącząc ten ostatni z (0, 1), uzyskamy prostą, która przecina już narysowaną w (-2012, 1/2013).
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
