Zad. 1. Pokaż, że jeśli liczby a, b i c, dodatnie i różne od 1, tworzą ciąg geometryczny, to liczby
(logad)-1, (logbd)-1, (logcd)-1,
przy d dodatnim i różnym od 1, tworzą ciąg arytmetyczny.
Zad. 2. Znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że 1!+2!+...+n! jest kwadratem liczby naturalnej.
Zad. 3. Na czterech wzajemnie stycznych kulach o promieniu r opisano kulę. Jaki jest jej promień?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław, Kamila Bojar ZSP Szprotawa, Konrad Bratek I LO Lwówek Śląski, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Michał Kępiński Społeczne LO Żary, Alina Langa I LO Oleśnica, Szymon Meyer II LO Opole, Błażej Mrzygłód Techn. nr 5 Opole, Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
- 2,5 - Mateusz Rzepecki III LO Wrocław;
- 2 - Dawid Hanrahan I LO Brzeg i Николай Шамаев 131 Szkoła Ogólnokształcąca Charków (Ukraina);
- 1 - Karol Kowalski I LO Kraków.
Pozostałym uczestnikom nie przyznano punktów.
Po siedmiu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 21 pkt. (na 21 możliwych) prowadzą: Bartosz Czyżewski i Tomasz Stempniak. Drugie miejsce z wynikiem 20 pkt. zajmują: Szymon Meyer, Николай Шамаев i Wojciech Wiśniewski. Trzecie miejsce z wynikiem 18,5 pkt. zajmuje Alina Langa. Gratulujemy!
Zad. 1. Z własności ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich mamy b = √(ac).
Z własności logarytmu mamy
(logbd)-1 = logdb = logd√(ac) = logd(ac)1/2 = 1/2(logda+logdc) = 1/2((logad)-1+(logcd)-1),
co dowodzi, że żądany ciąg jest arytmetyczny.
Zad. 2. Dla n<5 zadana własność zachodzi dla n=1 i n=3. Pokażemy, że dla n≥5 nie ma takich liczb. Wówczas n! jest podzielne przez 10, dlatego 1!+2!+...+n! daje z dzielenia przez 10 taką samą resztę, jak 1!+2!+3!+4!, czyli 3. Natomiast kwadrat liczby naturalnej nigdy nie moze mieć cyfry jedności równej 3, ponieważ jedyne możliwości to 0, 1, 4, 5, 6 i 9.
Zad. 3. Środki kul są wierzchołkami czworościanu foremnego o krawędzi 2r. Promień kuli opisanej na układzie kul jest równy promieniowi kuli opisanej na tym czworościanie foremnym powiększonemu o r. Ponieważ promień kuli opisanej na czworościanie foremnym wynosi 3/4 jego wysokości (dlaczego?), promień kuli opisanej na czworościanie foremnym o krawędzi 2r jest równy r√6/2, a szukany promień kuli jest o r większy, czyli równy r·(1+√6/2).
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
