maj 2016

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-16

Zad. 1. Oblicz (x14+1)/x7 wiedząc, że (x2+1)/x = y, gdzie y jest liczbą rzeczywistą.

Zad. 2. Znajdź wszystkie pary liczb pierwszych (p, r), które spełniają równanie p2 = 30r2+1.

Zad. 3. Ile jest par nieprzystających trójkątów, takich że wszystkie kąty jednego trójkąta przystają do odpowiednich kątów drugiego i dwa boki jednego trójkąta przystają do odpowiednich boków drugiego?

 

Wyniki: 

W tym miesiącu punkty zdobyli:

  • 3 - Kamila Bojar ZSP Szprotawa, Konrad Bratek I LO Lwówek Śląski, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Николай Шамаев 131 Szkoła Ogólnokształcąca Charków (Ukraina), Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
  • 2 - Dawid Hanrahan I LO Brzeg, Szymon Meyer II LO Opole i Błażej Mrzygłód Techn. nr 5 Opole;
  • 1 - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław, Karol Kowalski I LO Kraków i Alina Langa I LO Oleśnica.

Pozostałym uczestnikom nie przyznano punktów.

Po ośmiu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 24 pkt. (na 24 możliwych) prowadzą: Bartosz Czyżewski i Tomasz Stempniak. Drugie miejsce z wynikiem 23 pkt. zajmują: Николай Шамаев i Wojciech Wiśniewski. Trzecie miejsce z wynikiem 22 pkt. zajmuje Szymon Meyer. Gratulujemy!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Zauważmy, że x2+1/x2 = (x+1/x)2–2 = y2–2. Podobnie możemy wyliczyć x3+1/x3 i x4+1/x4, żeby w końcu otrzymać x7+1/x7 = (x4+1/x4)(x3+1/x3)–(x+1/x) = y7–7y5+14y3–7y.

Zad. 2. Zauważmy, że dane równanie można zapisać jako (p–1)(p+1) = 2·3·5·r2. Po lewej stronie mamy iloczyn dwóch liczb parzystych, dlatego r musi być równe 2, ponieważ to jedyna parzysta liczba pierwsza. Stąd jedyną parą liczb pierwszych spełniających warunki zadania jest (11, 2).

Zad. 3. Takich par trójkątów jest nieskończenie wiele. Zauważmy, że jeśli wszystkie boki pary takich trójkątów będą odpowiednio proporcjonalne, to trójkąty będą podobne, czyli będą miały równe miary odpowiednich kątów. Długości boków takich trójkątów będą tworzyły ciąg geometryczny i będą równe (a, aq, aq2) i (aq, aq2, aq3), gdzie q jest różne od 0 i 1.
Z warunku istnienia trójkąta można pokazać, że q mieści się w przedziale (√5-1/2, √5+1/2).

 

Powrót na górę strony