Zad. 1. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch różnych nieparzystych liczb pierwszych jest podzielna przez 4.
Zad. 2. Do ponumerowania stron podręcznika do analizy matematycznej użyto 3289 cyfr. Ile stron ma ten podręcznik?
Zad. 3. Pokaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów opisanego na tym trójkącie i wpisanego w ten trójkąt.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 - Jakub Dobrzański G 3 Lubin, Kacper Gembara G w ZSS Wołów, Marek Komorowski G 3 Żory, Wiktor Koropczuk G 3 Gorzów Wielkopolski, Oliwia Kropidłowska G 1 Wrocław, Konrad Litwiński G 86 Warszawa, Krzysztof Mach G 52 Kraków, Przemysław Rybarczyk G Integracyjne Stargard, Антон Садовніченко GM im. 10 lat Niezależności Ukrainy Dniepropietrowsk, Kacper Słoniec G 52 Kraków, Laura Stefanowska G im. św. Franciszka z Asyżu Legnica i Kajetan Walawski G Leżajsk;
- 2 - Julia Mazur G Lewin Brzeski, Karolina Mielczarek G Lewin Brzeski, Stanisław Mielczarek G Góra i Franciszek Stepek G Społeczne Żary;
- 1,5 - Joanna Lisiowska KZE Warszawa.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1,5 punktu.
Po siedmiu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 21 pkt. (na 21 możliwych) prowadzą: Jakub Dobrzański, Wiktor Koropczuk i Oliwia Kropidłowska. Drugie miejsce z wynikiem 20,5 pkt. zajmuje Przemysław Rybarczyk. Trzecie miejsce z wynikiem 20 pkt. zajmują: Kacper Gembara, Marek Komorowski i Laura Stefanowska. Gratulujemy!
Zad. 1. Niech p i r oznaczają pewne nieparzyste liczby pierwsze. Wtedy p2–r2 = (p+r)(p-r). Zarówno różnica jak i suma dwóch nieparzystych liczb jest parzysta, a iloczyn dwóch liczb parzystych jest podzielny przez 4. Teza zadania jest prawdziwa dla dowolnych liczb nieparzystych a nie tylko dla nieparzystych liczb pierwszych.
Zad. 2. Na strony z numeracją jednocyfrową zużyto 9 cyfr, z dwucyfrową 2·90 = 180 cyfr, a z trzycyfrową 3·900 = 2700 cyfr. Zostało do wykorzystania 3289–2700–180–9 = 400 cyfr na strony z numeracją czterocyfrową, czyli na 100 dodatkowych stron. Stąd podręcznik ma 999+100 = 1099 stron.
Zad. 3. Niech R i r oznaczają odpowiednio promienie okręgu opisanego na trójkącie i wpisanego w trójkąt prostokątny o długościach przyprostokątnych a i b. Ponieważ przeciwprostokątna jest jednocześnie średnicą okręgu opisanego, jej długość wynosi 2R. Z własności stycznych do okręgu wpisanego wychodzących z wierzchołków trójkąta wnioskujemy, że przeciwprostokątna ma długość a–r+b–r. Przyrównując te wyrażenia, otrzymujemy zależność a+b=2R+2r.
