kwiecień 2017

Zad. 1. -2000+2·777 = -446

Zad. 2. Stado szarańczy zjada w ciągu doby 100 000 ton zboża. Do przeżycia człowiek potrzebuje minimum 1 000 kcal dziennie. Wartość kaloryczna 100 g pieczywa to 260 kcal. Przyjmijmy, że zboże daje z tego 250 kcal, więc aby dostarczyć organizmowi 1000 kcal trzeba spożyć 400 g zboża dziennie, czyli 146 kg rocznie. Zboża zjedzonego w ciągu jednego dnia przez szarańczę wystaczyłoby więc maksymalnie do nakarmienia przez rok prawie 700 000 ludzi (100 000 000 : 146 = 684 931), czyli wszystkich mieszkańców Wrocławia. Jeśli w rozwiązaniu nie podano, w jaki sposób ustalono spożycie roczne/dzienne, przyznawano 0,5 pkt.

Zad. 3. Wystarczy wpisać dowolną liczbę (lub nawet zacząć od zera, które pojawia się na ekranie po włączeniu kalkulatora), a następnie wielokrotnie naciskać klawisz "cos". Oblicza się w ten sposób jedyny pierwiastek równania cosx = x, tzw. metodą iteracyjną.

Otrzymana wartość liczbowa zależy od tego, czy rachunki na kalkulatorze ustawione są w stopniach, czy radianach. Dla stopni otrzymujemy 0,999847741..., a dla radianów 0,739085133..., przy czym w tym drugim przypadku ciąg jest znacznie wolniej zbieżny. Dla uzyskania dokładności dwóch miejsc po przecinku w stopniach wystarczy na ogół jedno naciśnięcie klawisza "cos", a w radianach potrzeba ich 4-10 (w zależności od wybranej wartości początkowej).

Otrzymana w ten sposób liczba jest granicą ciagu zdefiniowanego rekurencyjnie jako:

a₁ = c,    a_n+1 = cos a_n

i nazywana jest liczbą Dottie. Nazwę tę wprowadził w 2007 amerykański matematyk Samuel Kaplan na łamach Mathematics Magazine. Kiedy jeszcze chodził do szkoły, jego nauczycielka francuskiego (o imieniu Dottie) zauważyła ze zdziwieniem, że kiedy wpisuje do kalkulatora dowolną liczbę, a potem wielokrotnie naciska klawisz "cos", wyniki zawsze są zbieżne do tej samej liczby. Zapytała o to męża - nauczyciela matematyki - który wyjaśnił jej, że ogląda zbieżność ciągu do swojej granicy. A dlaczego ta granica nie zależy od wyboru pierwszego wyrazu ciągu? I dlaczego liczba Dottie zdefiniowana powyżej jako granica ciągu jest jednocześnie pierwiastkiem równania cosx = x? Jeśli powyższy ciąg jest zbieżny, to istnieje liczba g równa [tex]\lim_{n\to\infty}a_n[/tex]. Wówczas przechodząc obustronnie do granicy w równości a_n+1 = cos a_n   i korzystając z ciągłości funkcji kosinus (co powoduje, że możemy wejść z granicą podznak tej funkcji), otrzymujemy:[TEX] \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} = \lim\limits_{n\to\infty}\cos(a_n)[/TEX] [TEX]\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} = \cos(\lim\limits_{n\to\infty}a_n) ,[/TEX]zatem otrzymujemy g = cos g, co chcieliśmy wykazać.