Zad. 1. Znajdź czwórki liczb naturalnych spełniające równanie 1/x + 1/y + 1/z = t.
Zad. 2. Adam i Beata rozegrali pojedynek w kamień-papier-nożyce, który składał się z dziesięciu rund. Adam pokazał kamień cztery razy, nożyce pięć razy, a papier raz. Beata dwukrotnie zagrała kamień, czterokrotnie nożyce i cztery razy papier. Czy informacja, że nie było remisów, wystarcza do stwierdzenia, kto zwyciężył w całym pojedynku?
Zad. 3. Wrocławski Portal Matematyczny wydał serię n kart z podobiznami wielkich matematyków. Zebranie pełnej kolekcji stanowi marzenie wszystkich uczniów dolnośląskich szkół. Jolanta organizuje urodziny, na które zaprasza kolegów z klasy. Nikt z nich nie zebrał jeszcze kompletu. Nie chce, by wśród osób siedzących przy tym samym stoliku była para takich uczniów, którzy po zsumowaniu swoich kart mają komplet. Jaka jest najmniejsza liczba stolików, która zagwarantuje, że życzenie Jolanty będzie spełnione?
W listopadzie punkty zdobyli:
- 17 – Szymon Michalik, SP 3 Warszawa,
- 14 – Urszula Kwiatkowska, SP 221 Warszawa.
Zad. 1. Załóżmy bez straty ogólności, że x ≤ y ≤ z. Gdyby x wynosił co najmniej 4, suma ułamków z lewej strony równania nie przekraczałaby 3/4, czyli nie mogłaby równać się liczbie naturalnej. Liczba x jest więc równa 1, 2 lub 3.
- Jeśli x=3, to także y=z=3, bo w przeciwnym wypadku lewa strona wynosiłaby maksymalnie 1/3+1/3+1/4 = 11/12. Dla x=y=z=3 mamy t=1.
- Jeśli x=2, to y<5, bo w przeciwnym wypadku lewa strona nie przekraczałaby 1/2+1/5+1/5<1.
Dla y=4 otrzymujemy z=4, t=1. Dla y=3 dostajemy z=6, t=1. Dla y=2 równanie sprowadza się do 1+1/z = t, co (wobec założenia, że y≤z) jest sprzeczne z warunkami zadania. - Jeśli x=1, równanie sprowadza się do postaci 1/y+1/z = t–1. Równanie takiej postaci rozwiązywaliśmy w zadaniu 3 z października 2023. Jedyne rozwiązania stanowią y=z=1 (wówczas t=3) oraz y=z=2 (wówczas t=2).
W ten sposób otrzymaliśmy następujące czwórki liczb natualnych spełniające dane równanie:
(3, 3, 3, 1), (2, 4, 4, 1), (2, 3, 6, 1), (1, 1, 1, 3) i (1, 2, 2, 2). Należy jednak pammiętać, że dodkonaliśmy tego przy założeniu, że x ≤ y ≤ z. Należy więc dorzucić nowe czwórki liczb otrzymane przez permutację x, y, z.
Zad. 2. Gdy Beata wychodziła z nożycami, Adam musiał odpowiedzieć kamieniem lub papierem (ze względu na brak remisów). Adam pokazał papier tylko raz, co oznacza, że musiał co najmniej trzy razy zagrać kamieniem w tych samych rundach, kiedy Beata wychodziła z nożycami, wygrywając te sytuacje. Analogicznie, gdy Adam wychodził z nożycami, Beata musiała odpowiedzieć papierem lub kamieniem. Beata wychodziła z kamieniem dwukrotnie, więc co najmniej trzy razy musiało dojść do sytuacji, gdy Adam wychodził z nożycami, a Beata z papierem, przy czym Adam wygrywał te rundy. Podsumowując, Adam musiał wygrać przynajmniej sześć rund, co prowadzi do wniosku, że w ogólnej klasyfikacji to Adam zwyciężył.
Zad. 3. Liczbą tą jest n. Pokażemy, że n stolików wystarczy, a jednocześnie n–1 może nie wystarczyć do spełnienia warunków zadania. Jeżeli przy stoliku nr k usadzimy wyłącznie uczniów nieposiadających karty o numerze k, spełnimy życzenie Jolanty. Zatem n stolików wystarczy do spełnienia warunków zadania. (Co z uczniami, którym brakuje kilku kart?) Gdyby natomiast na urodziny przyszło n osób, przy czym osoba nr k posiada wszystkie karty oprócz k-tej, wszyscy będą musieli usiąść przy osobnym stoliku. Istnieje więc sytuacja, w której n–1 stołów nie wystarczy do spełnienia życzenia Jolanty.
