Zad. 1. Jaka jest reszta z dzielenia liczby 1234567890987654321 przez 2008?
Zad. 2. Ile pierwiastków ma równanie x2=sin5x?
Zad. 3. Ile cyfr liczy zapis liczby 12345678902008 w systemie piątkowym?
Prawidłowe rozwiązania trzech zadań nadesłali Łukasz Kajdan z SP 82 w Poznaniu i Damian Olczyk z I LO w Oleśnie. Gratulujemy!
W klasyfikacji generalnej prowadzi Damian Olczyk (15 pkt. na 15 możliwych), II miejsce zajmuje Łukasz Kajdan (10 pkt.).
Zad. 1. Aby dzielenie można było wykonać na każdym kalkulatorze, podzielimy dzielną na składniki: 1234567890987654321 = 1234567800000000000 + 90987000000 + 654300 + 21. Obliczmy najpierw 12345678:2008. Daje to 6148 i pewien ułamek, zatem reszta z dzielenia 12345678 przez 2008 to 12345678-2008·6148, czyli 494. Teraz szukamy reszty z dzielenia 49490987:2008, którą znajdziemy podobnie 49490987-2008·24646=1819. Dalej dzielimy 18196543:2008, co daje resztę 47 i ostatecznie szukaną resztę otrzymamy z dzielenia 4721 na 2008, a to jest 705.
Zad. 2. Oglądając wykresy funkcji y=x2 i y=sin5x na komputerze lub kalkulatorze graficznym (najlepiej jeśli wartości x na ekranie są między -2 i 2, a wartości y między -1 i 1), widzimy, że przecinają się one w 4 punktach - jest to zero, pewna wartość dodatnia i dwie ujemne. Z kształtu wykresów wynika, że więcej punktów przecięcia nie ma, więc odpowiedź to 4.
Można też rozwiązać to zadanie rachunkowo. Oczywistym pierwiastkiem jest 0 i musi być przynajmniej jeden pierwiastek dodatni (przecięcie pierwszej "górki" sinusoidy). Ponieważ (2/5π)2>1, więcej pierwiastków dodatnich nie ma. Podobnie w liczbach ujemnych: (-3/10π)2<1, więc pierwsza górka sinusoidy na lewo od osi OY da dwa pierwiastki, natomiast dalej w lewo nie będzie juz żadnego, bo już choćby (-2/5π)2>1.
Zad. 3. Naciskając w kalkulatorze komputerowym kolejno klawisze 5, *, =, =, =, ..., otrzymamy kolejne potęgi piątki. Osiemnasta to 3814697265625, a dziewiętnasta - 19073486328125. W zapisie piątkowym 519 to jedynka i 19 zer, czyli najmniejsza liczba 20-cyfrowa, a 518 jest 19-cyfrowe. Ponieważ liczba dana w zadaniu jest pomiędzy tymi dwiema, ma w zapisie piątkowym 19 cyfr.
