Zad. 1. Opisz dokładnie lub narysuj zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają warunek |x|y=xy.
Zad. 2. Czy z faktu, że liczby a+b, b+c i c+a są wymierne, wynika, że a, b i c są wymierne? Uzasadnij!
Zad. 3. Jaka jest odległość środków dwóch ścian czworościanu foremnego o krawędzi 1?
Zadania z lutego nie były łatwe. Pełne 3 pkt zdobyli jedynie Igor Chełstowski, Bartosz Czyżewski i Michał Turniak. Wielu Ligowiczów dzieliło równanie z zad. 1 stronami przez y i w ten sposób traciło część rozwiązania tworzoną przez punkty o drugiej współrzędnej równej zero. Niektórzy nie podawali, jak wygląda szukany zbiór. Z kolei zad. 2 sporo osób rozwiązało błędnie, ponieważ nie jest prawdą, że suma dwóch liczb niewymiernych jest niewymierna - np. [tex](2-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})[/tex] czy też - co nietrudno wykazać - [tex]\sqrt{6-4\sqrt{2}} + \sqrt{3+2\sqrt{2}}[/tex] albo i [tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex], która to suma wynosi po prostu 1, ale dowód tego faktu jest już nieco trudniejszy.
W czołówce Ligi Gimnazjalnej są teraz:
- z 14 pkt na 15 możliwych - Michał Turniak z Gim. 49 we Wrocławiu,
- z 13,5 pkt - Bartosz Czyżewski z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze i Igor Chełstowski z Gim. Dwujęzycznego przy I LO w Inowrocławiu,
- z 12,5 pkt - Tomasz Stempniak z Zespołu Szkół s. Salezjanek w Ostrowie Wlkp.,
- z 10,5 pkt - Daria Bumażnik z Gim. 1 w Jeleniej Górze, Igor Chełstowski z Gim. Dwujęzycznego przy I LO w Inowrocławiu, Klaudia Marcinkiewicz z Gim. 24 w Katowicach i Wojciech Wiśniewski z Gim. 3 w Giżycku.
Gratulujemy!
Zad. 1. Równanie jest spełnione, jeśli y jest zerem (a punkty, których współrzędne spełniają ten warunek, tworzą oś X układu współrzędnych). Jeśli y≠0, dane równanie można przez podzielenie stronami przez y sprowadzić do postaci |x|=x, a to jest równoważne stwierdzeniu, że x ≥ 0. Zbiór takich punktów to półpłaszczyzna ograniczona z lewej osią Y wraz z nią, więc szukany zbiór to ta półpłaszczyzna (z osią Y) w połączeniu z ujemną półosią X.
Zad. 2. Ponieważ suma liczb wymiernych jest wymierna, liczbą wymierną jest a+b+b+c. Wymierna jest również różnica liczb wymiernych, więc i (a+b+b+c)–(c+a)=2b, a ponieważ iloraz liczby wymiernej przez 2 jest wymierny, wymierna jest ostatecznie liczba b. Podobnie można wykazać to o a i c, czyli implikacja podana w treści zadania jest prawdziwa.
Zad. 3. Z foremności wynika, że możemy rozpatrzyć środki ścian bocznych. Ich prostopadłe rzuty na podstawę leżą na jej wysokościach, w 1/3 odległości między ich spodkami na boki podstawy a spodkiem wysokości czworościanu, czyli tworzą wraz z nim trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku równym 120° i ramionach długości 2/9 wysokości podstawy h. Ich odległość to zatem dwie wysokości trójkąta równobocznego o boku 2/9 h, czyli 2·2/9·h√3/2, co z określenia h daje 2·2/9·(√3/2)2 = 1/3.
