Zad. 1. Rozwiąż w trójkach liczb naturalnych równanie 5(xy+yz+zx) = 4xyz.
Zad. 2. Niech X będzie co najmniej trzyelementowym zbiorem o takiej własności, że dla wszystkich a i b należących do X liczba a+b√3 jest wymierna. Wykaż, że wtedy każdy element zbioru X po pomnożeniu przez √3 musi być wymierny.
Zad. 3. Dla jakich liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi równość (x–y+z)2 = x2–y2+z2?
W tym miesiącu 18 pkt. zdobył Szymon Michalik, SP 3 Przymierza Rodzin Warszawa.
Zad. 1. Bez straty ogólności załóżmy, że x≤y≤z. Jeśli x jest zerem, równanie staje się trywialne. Jeśli nie jest zerem, możemy podzielić równanie stronami przez xyz, otrzymując 1/x+1/y+1/z = 4/5. Lewa strona nie przekracza 3/x, toteż x=3 lub x=2. Jeśli x=3, to 1/y+1/z = 7/15. Wtedy y=3 lub y=4, przy czym w żadnym z tych przypadków nie istnieje wartość z spełniająca równanie. Zatem x=2, czyli 1/y+1/z = 3/10. Podobnie jak poprzednio eliminujemy wszystkie wartości y oprócz 4, 5, 6. Równanie spełnają trójki (2, 4, 20) oraz (2, 5, 10).
Zad. 2. Weźmy różne x, y, z ∈ X. Wtedy x+z√3−(y+z√3) = x−y jest wymierna. Ale także z+x√3−(z+y√3) = √3(x−y). Jedyną liczbą wymierną, która po pomnożeniu przez √3 pozostaje wymierna, jest 0. Mamy więc x−y=0, co stanowi sprzeczność.
Zad. 3. Po przekształceniu równania otrzymamy y2–xy–yz–xz = 0, czyli (y–x)(y–z) = 0, zatem y=x lub y=z. Po podstawieniu w obu przypadkach równanie będzie spełnione dla każdego x lub dla każdego z. Zadana równość zachodzi zatem dla tych trójek liczb rzeczywistych, w których środkowa liczba jest równa którejś z pozostałych.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
