Zad. 1. Podczas gry w pokera podsłuchano rozmowę czterech króli:
król Kier: Schowałem wszystkie jokery.
król Trefl: Król Kier kłamie.
król Karo: Król Trefl kłamie.
król Pik: Król Karo kłamie.
Czy można ustalić, ilu króli skłamało? Uzasadnij odpowiedź.
Zad. 2. Liczba palindromiczną nie zmienia wartości czytana w przód i wspak. Jaka jest różnica między największą i najmniejszą pięciocyfrową liczbą palindromiczną, które są wielokrotnościami 45?
Zad. 3. Paulina ma tyle samo braci co sióstr. Każdy z jej braci ma o 50% więcej sióstr niż braci. Ile jest dzieci w tej rodzinie?
W tym miesiącu 3 pkt. zdobyli: Mikołaj Bilski SP 6 Jelenia Góra, Antoni Buraczewski SP 107 Wrocław, Kamil Faryński SP 11 Inowrocław, Marcin Faryński SP 11 Inowrocław, Maja Frankowska SP 3 Lubin, Joanna Gorajewska SP 2 Grodzisk Mazowiecki, Malwina Górecka SP 11 Inowrocław, Szymon Grech NSP Koszarawa Bystra, Natalia Krystkiewicz KSP Mława, Tymoteusz Noremberg SP 2 Wrocław, Julia Pawicka SP Bielany Wrocławskie, Antoni Skomorowski SP Bielany Wrocławskie, Kaja Srokosz SP 52 Warszawa, Adam Stachelek SP 301 Warszawa, Aleksandra Sznajder SP 4 Warszawa, Wojciech Szwarczyński SP Kowalowa, Michał Świerkowski SP 215 Warszawa, Jerzy Wąsiewicz SP Kostowiec, Jan Wiktorzak SP 23 Radom, Jakub Wojnarowicz SP 2 Wrocław, Kacper Woszczek SP Mieroszów, Dagmara Wroniszewska KSP Mława i Aleksandra Zalewska SP 1 Sokółka.
2,5 pkt. zdibyli: Krzysztof Możdżeń ZSP 5 Żory i Julia Szczechowicz SP 4 Mława.
2 pkt. zdobyli: Jakub Bartłomowicz SP 6 Jelenia Góra, Dominik Madejski SP 52 Warszawa, Andrzej Nowak SP 2 Oborniki Śląskie, Jakub Ptak SP 64 Wrocław, Bartosz Szczerba SP 35 Szczecin i Miłosz Walczak SP 11 Inowrocław.
1,5 pkt. zdobył Dariusz Marszałek SP 1 Brzeg.
1 pkt. zdobyli: Antoni Kołat SP 45 Wrocław, Ewa Król SP Bielany Wrocławskie, Wiktor Sarnowicz SP 46 Wrocław, Aleksandra Zakręcka SP 1 Mielec i Józef Zawiślak SP ?.
0,5 pkt. zdobył Łukasz Banaś SP 46 Wrocław.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 0,5 punktu.
Po ośmiu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 23,5 pkt. (na 24 możliwych) prowadzi Kaja Srokosz. Drugie miejsce z wynikiem 23 pkt. zajmują: Antoni Buraczewski, Maja Frankowska, Julia Pawicka, Antoni Skomorowski, Aleksandra Sznajder, Wojciech Szwarczyński, Michał Świerkowski i Jerzy Wąsiewicz. Trzecie miejsce z wynikiem 22,5 pkt. zajmują: Mikołaj Bilski i Natalia Krystkiewicz. Gratulujemy!
Zad. 1. Niezależnie od tego, czy król Kier mówi prawdę, czy kłamie, zawsze dwóch królów kłamie. Aby to zauważyć, należy rozpatrzyć dwa przypadki: w pierwszym król Kier kłamie, a w drugim - mówi prawdę.
Zad. 2. Liczba podzielna przez 45 ma cyfrę jedności 0 lub 5. Ponieważ chcemy uzyskać liczbę palindromiczną, cyfrą jedności nie moze być 0. Stąd szukane liczby pięciocyfrowe są postaci 5aba5. Aby uzyskać największą, przyjmijmy za a 9, wtedy b znajdziemy z podzielności liczby przez 9 (uwaga, 45=5·9 i są to liczby względnie pierwsze, zatem podzielność przez iloczyn tych liczb jest równoważna jednoczesnej podzielności przez każdy z czynników). Liczba 59b95 jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy przez 9 dzieli się suma jej cyfr 5+9+b+9+5 = 28+b, stąd jedynym rozwiązaniem jest b=8. Zatem największą pięciocyfrową liczbą palindromiczną podzielną przez 45 jest 59895. Analogicznie można wykazać, że najmniejszą taką liczbą jest 50805. Różnica tych liczb wynosi 9090.
Zad. 3. Niech s oznacza liczbę sióstr, a b liczbę braci. Wtedy z treści zadania dostajemy dwa równania s–1 = b i s = 3/2·(b–1), które sprowadzają się do jednego równania 3·(b–1) = 2·(b+1), a stąd b=5 i s=6. W rodzinie jest 11 dzieci.
