Zad. 1. Z urny, w której znajdują się kule o numerach 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, wylosowano jedną kulę, której numer stał się cyfrą dziesiątek pewnej liczby dwucyfrowej. Następnie z pozostałych ośmiu kul wylosowano jedną, której numer stał się cyfrą jedności tej liczby. Ile wynosi prawdopodobieństwo otrzymania w ten sposób dwucyfrowej liczby parzystej?
Zad. 2. Wojtek wybrał trzy różne cyfry i zapisał za ich pomocą wszystkie możliwe liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Część z nich była podzielna przez 6 i te Wojtek dodał, otrzymując 3108. Ile wynosi suma pozostałych liczb utworzonych przez Wojtka?
Zad. 3. Z pewnej liczby jednakowych kostek sześciennych o krawędzi 1 cm zbudowano prostopadłościan. W jego wnętrzu jest 231 punktów, w którym spotyka się osiem kostek. Prostopadłościan ma pole powierzchni najmniejsze z możliwych. Ile jest równe to pole?
W maju punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Anna Cichowska II LO Lubin, Adam Chowanek III LO Wałbrzych, Wojciech Domin III LO, Rafał Górzyński I LO Lubin, Bartosz Kaczor I LO Głogów, Jakub Kutyła ZS Głogów,Michał Plata III LO Wrocław, Mikołaj Popek VIII LO Poznań, Cezary Rębiś ZSE Radom, Wojciech Szwarczyński II LO Wałbrzych, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Igor Wojtun I LO Głogów;
- 2 pkt. – Laura Stefanowska KLO Legnica;
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 możemy utworzyć 7·9=72 liczby dwucyfrowe o niepowtarzających się cyfrach. Wśród nich są 4·8 = 32 liczby parzyste. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej wynosi 32/72 = 4/9.
Zad. 2. Z trzech różnych cyfr można utworzyć co najwyżej 6 liczb trzycyfrowych. Kolejność cyfr nie ma wpływu na podzielność przez 3, więc cyfry, które wybrał Wojtek, mają sumę podzielną przez 3 i wśród nich co najmniej jedna jest parzysta. Gdyby tylko jedna cyfra była parzysta, to byłoby można utworzyć dwie liczby podzielne przez 6, ale wtedy otrzymana suma byłaby mniejsza od 3108. Gdyby parzyste były trzy cyfry, to wszystkie utworzone liczby byłyby podzielne przez 6. Dla dwóch liczb parzystych możemy utworzyć 4 liczby podzielne przez 6. Średnia liczb sumowanych przez Wojtka jest bliska 800, więc wybrane cyfry powinny być duże. Metodą prób i błędów wyznaczamy cyfry 6, 7 i 8, dla których 876 + 786 + 678 + 768 = 1554.
Zad. 3. Oznaczmy przez a, b i c wymiary prostopadłościanu. Punktów, w których spotyka się 8 kostek, jest (a–1)(b–1)(c–1), zatem (a–1)(b–1)(c–1) = 231 = 3.7.11 = 1.21.11 = 1.7.33 = 1.3.77 = 1.1.231. Prostopadłościan może więc mieć wymiary: 4 cm x 8 cm x 12 cm, 2 cm x 22 cm x 12 cm, 2 cm x 8 cm x 34 cm, 2 cm x 4 cm x 78 cm, 2 cm x 2 cm x 232 cm. Wśród nich najmniejsze pole powierzchni ma prostopadłościan o wymiarach 4 cm x 8 cm x 12cm. Wynosi ono 352 cm2.
