Zad. 1. Na podłodze leży 100 monet obróconych reszkami do góry. Pracowita małpa co minutę odwraca cztery monety i postępuje tak w nieskończoność. Ile monet może być obróconych reszkami do góry po pewnej liczbie małpich operacji?
Zad. 2. Punkt P leży w odległości 4 od okręgu o środku Ś i promieniu 2. Jaką figurę tworzą środki cięciw tego okręgu wyznaczonych przez proste przechodzące przez P?
Zad. 3. Funkcja f zdefiniowana jest wzorem f(x)=(x-a)(x-b)/((a-c)(b-c))+(x-a)(x-c)/((b-a)(b-c))+(x-b)(x-c)/((a-b)(a-c))-1, gdzie a, b i c to pewne stałe. Jest to, jak widać, funkcja kwadratowa, bo pojawiają się w niej tylko wyrazy wolne, jednomiany z x i jednomiany z x2. Łatwo jednak sprawdzić, że f(a)=f(b)=f(c)=0, a ponieważ a, b i c mogą być trzema różnymi liczbami, f jest zatem funkcją kwadratową o trzech miejscach zerowych! Co się tu nie zgadza?
Trzy zadania rozwiązał poprawnie tylko Damian Olczyk z I LO w Oleśnie. Gratulujemy!
Najlepszym uczestnikiem od początku trwania Ligi jest również Damian Olczyk (16 pkt. na 18 możliwych).
Zad. 1. Możliwe zmiany liczby monet odwróconych reszkami do góry to 4-0, 3-1, 2-2, 1-3 i 0-4. Przy pomocy małpy można więc uzyskać każdą parzystą liczbę od 0 do 100.
Zad. 2. Oznaczmy środek dowolnej z takich cięciw przez C. Z symetrii okręgu wynika, że kąt PCŚ jest prosty, C leży więc na okręgu o średnicy PŚ. Ma on promień 3 i szukaną figurą jest zatem 1/3 tego okręgu odcięta okręgiem, o którym mowa w zadaniu.
Zad. 3. Współczynnik przy x2 jest pewnym wyrażeniem zawierającym a, b i c, więc nie wiadomo wcale, czy f jest rzeczywiście funkcją kwadratową, bo ten współczynnik może być zerowy. A ponieważ f ma (przynajmniej) trzy miejsca zerowe - nie może być kwadratowa. Można też przekonać się o tym bezpośrednio, wyliczając ten współczynnik.
