Zad. 1. Czy ³√5−³√2 jest liczbą wymierną? Uzasadnij!
Zad. 2. Pokaż, jak obliczyć, w jakim stosunku dzieli najdłuższy bok trójkąta o bokach 5, 6, 7 opuszczona na niego wysokość.
Zad. 3. Podaj niezawierający wielokropka jawny wzór ciągu 5,2; 55,22; 555,222; ...
Za rozwiązania zadań marcowych po 3 pkt przyznaliśmy: Adamowi Balawenderowi, Markowi Mice, Jakubowi Sobyrze, Wojciechowi Tobisiowi i Arkadiuszowi Wróblowi.
W czołówce rankingu Ligi LO są zatem:
- z 17,5 pkt (na 18 możliwych!) - Marek Mika (II LO w Opolu), Wojciech Tobiś (I LO w Oleśnie) i Arkadiusz Wróbel (XIV LO w Warszawie),
- z 16,5 pkt - Adam Balawender (ZSO w Strzegomiu) i Aleksandra Grzelak (II LO w Opolu),
- z 15,5 pkt - Jakub Sobyra (I LO w Tarnowie),
- z 15 pkt - Michał Stroka (II LO w Opolu),
- z 14 pkt - Bartosz Pawliczak (LO w Górze).
Wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. Gdyby była to liczba wymierna, wymierny byłby również jej sześcian, czyli po uproszczeniach 3(1−³√10(³√5−³√2)). Skoro ta liczba miałaby być wymierna, to również jej trzecia część pomniejszona o 1, czyli −³√10(³√5−³√2). Liczba w nawiasie miałaby zgodnie z założeniem być wymierna (i nie jest oczywiście zerem), a skoro cały iloczyn ma być wymierny, wymierna musiałaby być także liczba ³√10. Ponieważ nie jest to prawda, wyjściowe założenie musiało być fałszywe, czyli dana w zadaniu liczba jest niewymierna.
Zad. 2. Jest to trójkąt ostrokątny, więc opisana w zadaniu wysokość dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Stosując do nich tw. Pitagorasa (przy oczywistych oznaczeniach), otrzymujemy układ równań: h2+x2=36 i h2+(7-x)2=25, skąd po odjęciu stronami 14x=60, czyli x=30/7, a 7-x=19/7, więc wysokość dzieli bok w stosunku 19:30.
Zad. 3. Jeśli rozpatrzyć osobno część całkowitą i ułamkową, można dość wygodnie użyć do nich wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego, ale nie trzeba: liczba naturalna, której zapis dziesiętny to n piątek, to 5/9 liczby zapisanej n dziewiątkami, a ta to 10n-1. Analogicznie 0,222...2 z n dwójkami to 2/9 liczby 1-10-n, i dany ciąg można zapisać jako (5(10n-1)+2(1-10-n))/9, co jeszcze można nieco uprościć, ale jest już szukanym wzorem.
