Zad. 1. ABW jest trójkątem równoramiennym o podstawie AB i wysokości WD. Okrąg o średnicy WA przecina WB w E. Przy jakim stosunku WD/AB WEDA jest trapezem?
Zad. 2. Czy cos100° < cos2012°? Uzasadnij!
Zad. 3. Dla jakich pierwszych p liczba p4+4 jest pierwsza? Uzasadnij!
Kwiecień sprzyjał Ligowiczom. Po 3 pkt za nadesłane rozwiązania otrzymują: Adam Balawender, Aleksandra Grzelak, Arkadiusz Wróbel, Marek Mika, Martyna Mikoda, Tomasz Skalski i Wojciech Tobiś.
W sumarycznej punktacji Ligi Ponadgimnazjalnej prowadzą teraz natomiast:
- z 20,5 pkt (na 21 możliwych!) - Marek Mika (II LO w Opolu), Wojciech Tobiś (I LO w Oleśnie) i Arkadiusz Wróbel (XIV LO w Warszawie),
- z 19,5 pkt - Adam Balawender (ZSO w Strzegomiu) i Aleksandra Grzelak (II LO w Opolu),
- z 18 pkt - Jakub Sobyra (I LO w Tarnowie),
- z 16 pkt - Bartosz Pawliczak (LO w Górze),
- z 15 pkt - Michał Stroka (II LO w Opolu),
- z 14 pkt - Martyna Mikoda (II LO w Opolu) i Tomasz Skalski (III LO we Wrocławiu).
Gratulujemy!
Zad. 1. Aby był to trapez, równoległe muszą być odcinki DE i AW. Pociąga to podobieństwo trójkątów ABW i DBE. Ponieważ D jest środkiem odcinka AB, skala tego podobieństwa wynosi 2, a wobec tego E jest środkiem ramienia BW. Jeśli przez x oznaczymy więc długość BE, to AW=2x. Ponieważ kąt AEW jest opartym na średnicy kątem wpisanym w opisany w zadaniu okrąg, jest to kąt prosty i z twierdzenia Pitagorasa możemy ustalić, że AE=x√3, czyli AW√3/2, co (ponieważ BW=AW i E jest środkiem boku BW) oznacza, że ABW jest trójkątem równobocznym, czyli szukany stosunek wynosi √3/2.
Zad. 2. cos2012° = [z okresowości funkcji cos] cos(2012–6·360)° = cos(–148°) = [z parzystości funkcji cos] cos148° < cos100°, bo na przedziale [0, 180°] cos jest malejący.
Zad. 3. p4+4 = p4+4p2+4–4p2 = (p2+2)2–(2p)2 = (p2+2p+2)(p2–2p+2). Dla pierwszych p wyrażenie w drugim nawiasie przyjmuje wartości dodatnie i mniejsze niż wyrażenie w pierwszym nawiasie, więc aby dana w zadaniu liczba była pierwsza, p2–2p+2 musiałoby być jedynką, co daje jednak p=1, czyli rozwiązaniem zadania jest zbiór pusty.
