Zad. 1. Znajdź rozwiązanie w liczbach całkowitych równania xy=9-2x3.
Zad. 2. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, dla których 12n-9 jest liczbą pierwszą.
Zad. 3. W kole o średnicy 16 cm umieszczono dowolnie 63 punkty. Udowodnij, że wewnątrz tego koła istnieje punkt, który jest oddalony od każdego z pozostałych 63 punktów o więcej niż 1 cm.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Oliwia Kropidłowska G 1 Wrocław, Konrad Litwiński G 86 Warszawa, Zofia Ogonek G 58 Warszawa, Przemysław Rybarczyk G Integracyjne Stargard Szczeciński, Mateusz Rzepecki G 14 Wrocław i Michał Stempniak G Sióstr Salezjanek Ostrów Wielkopolski;
- 2,5 pkt. - Aleksandra Domagała G 23 Wrocław i Kacper Gembara G w ZSS Wołów;
- 2 pkt. - Iwo Pilecki-Silva G 26 Wrocław i Krzysztof Żmuda G Wieczfnia Kościelna;
- 1,5 pkt. - Joanna Lisiowska KZE Warszawa, Magdalena Owczarek G Dwujęzyczne Legionowo i Łukasz Pawlak G Dwujęzyczne Oborniki Śląskie.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 1 punktu.
Po sześciu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 18 pkt. (na 18 możliwych) prowadzą: Konrad Litwiński, Mateusz Rzepecki i Michał Stempniak. Drugie miejsce z wynikiem 16,5 pkt. zajmują: Kacper Gembara, Oliwia Kropidłowska i Zofia Ogonek. Trzecie miejsce z wynikiem 15,5 pkt. zajmuje: Przemysław Rybarczyk. Gratulujemy!
Zad. 1. Zauważmy, że x≠0 (bo gdyby x=0, to dostalibyśmy równanie sprzeczne 0=9). Dlatego możemy obie strony równania podzielić przez x. Dostaniemy y = 9/x - 2x2. Stąd widać, że y będzie całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy x będzie dzielnikiem 9. Zatem jedyne pary liczb całkowitych spełniające równanie, to:
(-9, -163), (-3, -21), (-1, -11), (1, 7), (3, -15) i (9, -161).
Zad. 2. Dla n=1 dostajemy liczbę pierwszą (121 - 9 = 3). Dla n≥2 możemy dane wyrażenie przekształcić do postaci 12n-9 = 9·(4n·3n-2-1), z której widać, że jest to liczba złożona.
Zad. 3. Pole koła o średnicy 16 cm wynosi 64π cm2. Jeśli każdy z losowo wybranych punktów otoczymy kołem o promieniu 1 cm, to pole obszaru dużego koła, jakie te koła zakryją, będzie nie większe niż 63π cm2 (bo małe koła mogą się częściowo nakładać lub wystawać poza duże koło). Stąd wynika, że obszar dużego koła niepokryty małymi kołami będzie miał pole co najmniej π cm2. W tym obszarze można umieścić 64. punkt, który będzie odległy od pozostałych punktów o więcej niż 1 cm.
