marzec 2015

Data ostatniej modyfikacji:
2015-04-29

Zad. 1. Pokaż, że jeśli a/b = b/c, to \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}.

Zad. 2. Trzy ekipy budowlane zaoferowały swoje usługi panu Kowalskiemu, który chce wyremontować mieszkanie. Pierwszej ekipie remont zajmie 12 dni, drugiej 15 dni, a trzeciej tylko 8 dni. Ile dni zająłby remont mieszkania Kowalskiego gdyby wszystkie ekipy pracowały razem?

Zad. 3. W równoległoboku ABCD zachodzi |AB|=2|BC|. Punkt E dzielący bok AB na połowy połączono z wierzchołkami C i D. Oblicz miarę kąta CED.

 

Wyniki: 

W tym miesiącu punkty zdobyli:

  • 3 pkt. - Mieszko Baszczak - SP 301 Warszawa, Antoni Buraczewski - SP 107 Wrocław, Hubert
    Cymbalista - SP 1 Sobótka, Michał Gębarowski - SP Polna, Szymon Grech - NSP Koszarawa Bystra, Natasza Henko - SP Mieroszów, Igor Hołowacz - SP Bielany Wrocławskie, Antoni Kołat - SP 45 Wrocław, Marek Komorowski - SP 5 Żory, Martyna Kubiak - SP Skoki, Szymon Kubiak - SP Skoki, Kacper Kuszaj - SP 2 Jelcz-Laskowice, Weronika Mucha - SP 5 Ozorków, Gabriela Poświata - SSP 35 Legionowo, Jakub Ptak - SP 64 Wrocław, Mikołaj Roszczyk - SP 7 Legionowo, Kaja Srokosz - SP 52 Warszawa, Adam Stachelek - SP 301 Warszawa, Bartosz Szczerba - SP 35 Szczecin, Michalina Więckowska - SP 1 Konstancin-Jeziorna i Aleksandra Zalewska - SP 1 Sokółka;
  • 2,5 pkt. - Konrad Andruchów - SP 4 Bolesławiec, Hubert Grześkowiak - SP Mieroszów, Natasza Ptak - SP 118 Wrocław i Klaudia Sułkowska - SP Mieroszów;
  • 2 pkt. - Kacper Bernaciak - SP 30 Wrocław, Mikołaj Bilski - SP 6 Jelenia Góra, Antoni Bryszewski - SP 15 Jelenia Góra, Lena Bukowska - SP 1 Sobótka, Gracjan Ciupa - SP 72 Wrocław, Norbert Frydrysiak - SP Mszczonów, Joachim Górski - SP Mszczonów, Karolina Kamińska - OSM Wrocław, Gabriela Kelner - SP Mieroszów, Kajetan Pacześniak - SP 46 Wrocław, Szymon Warmuła - SP Kobierzyce i Jerzy Wąsiewicz - SP Kostowiec;
  • 1,5 pkt. - Janina Popławska - SP 4 Legnica;
  • 1 pkt. - Jakub Badowski - SP Mszczonów, Łukasz Banaś - SP 46 Wrocław, Malwina Górecka
    - SP 11 Inowrocław i Kacper Tylek - SP Świątniki Górne;
  • 0,5 pkt. - Karol Raczkowski-Orleski - SP 45 Wrocław.

Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 0,5 punktu.

 

Po sześciu miesiącach Ligi Zadaniowej dla SP prowadzą:

  • I m. (z wynikiem 18 pkt. na 18 możliwych) - Marek Komorowski i Jakub Ptak,
  • II m.(z wynikiem 17,5 pkt.) - Kaja Srokosz, Bartosz Szczerba i Aleksandra Zalewska,
  • III m. (z wynikiem 17 pkt.) - Konrad Andruchów, Gracjan Ciupa, Igor Hołowacz, Kacper Kuszaj i Adam Stachelek.

Gratulujemy!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Zauważmy, że z równości a/b = b/c wynika, że b≠0, c≠0 i a≠-c, dlatego wyrażenie \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c} jest dobrze określone. Warunek a/b = b/c jest równoważny b2=a·c. Podstawiając za b2, dostaniemy \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ac}{ac+c^2}=\frac{a(a+c)}{c(a+c)}=\frac{a}{c}, co kończy dowód. 

Zad. 2. Ekipy, pracując osobno, w jeden dzień wyremontują odpowiednio 1/12, 1/15 i 1/8 część mieszkania. Sumując te ułamki, dostajemy 33/120 = 11/40. Oznacza to, że gdyby ekipy pracowały razem, to w jeden dzień wyremontują 11/40 mieszkania. Natomiast całe mieszczanie wyremontują, pracując 40/11 raza dłużej, czyli pracując 3 i 7/11 dnia lub inaczej 3 dni, 15 godzin, 16 minut i 21,82 sekundy.

Zad. 3. Miara kąta CED wynosi 90o. Zauważmy, że trójkąty ADE i BCE są równoramienne i mamy |AE|=|AD|=|BE|=|BC|. Stąd równe są miary kątów AED i ADE oraz miary kątów BEC i BCE. Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180o, |∡DAE| =180°-2·|∡AED|. Podobnie |∡CBE| = 180°-2·|∡BEC|. Ponieważ suma sąsiednich kątów równoległoboku wynosi 180°, |∡DAE|+|∡CBE| = 180°, czyli |∡AED|+|BEC| = 90°. Stąd już łatwo zauważyć, że kąt CED ma 90°, bo razem z kątami AED i BEC tworzą kąt półpełny.

 

Rysunek do zadania 3.

 

Powrót na górę strony